Minimale Kosten herausfinden (Optimierungsproblem)

Question

Aufgabe:

Ein Kilogramm Futter muss folgende Nährstoffe als Minimum enthalten.

A: 80g, B: 50g, C: 40g, D: 2g

Zwei Bestandtteile gibt es, die folgende Werte haben:

B1 in Gramm/kg mit:

A: 100, B: 80, C: 40, D: 10. Kosten/kg 73 Euro

B2 in Gramm/kg mit:

A: 200, B:150g, C:20g, D:0g. Kosten/kg 55 Euro

Das Futter soll so erstellt werden, dass die Kosten möglichst gering sind. Formuliere es als Optimierungsproblem. Skizziere die zulässige Menge und bestimme grafisch die optimale Lösung und gebe die Nebenbedingungen an, die aktiv sind.

Problem/Ansatz:

Das sind meine Überlegungen:

Da die Kosten möglichst gering sein sollen lautet die Zielfunktion Z = 73x1 +55x2

Für die Nebenbedingungen wäre einmal die Nichtnegativitätsbedingung und natürlich für die beiden Bestandtteile:

A: 100x1+200x2 => 80

B: 80x1+150x2 => 50

C: 40x1+20x2 =>23

D: 10x1 => 2

Danach würde ich die Nebenbedingungen einzeichnen (auch nach x2 auflösen) und so auch das Minimum herausfinden. Sind die Schritte bisher so korrekt?

Comments

Anstatt 23 würde ich 40 schreiben und dann noch x₂ = 1 - x₁

Und die Indices tief stellen. Noch besser als x₂ wäre allerdings y.

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Anstatt 23 würde ich 40 (x1 + x2) schreiben.

Ich würde es bevorzugen, wenn man lernt, Aufgaben korrekt abzuschreiben. Eine 40 macht dort wohl wenig Sinn. Dann dürfte man eh nicht mischen und könnte nur Futter B1 verwenden.

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C sollte eigentlich 23 sein (beim Minimum pro kg)

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Das hat der Mathecoach ja schon so vermutet. Dann ist halt nicht die Nebenbedingung falsch aufgeschrieben, sondern der Aufgabentext :)

Answer 1

Wenn du rechnest

100·x + 200·y ≥ 80

Dann soll das Futter insgesamt mehr als 80 g Nährstoff A enthalten. Das ist nicht korrekt. Das Futter soll mind 80g/kg an Nährstoffen enthalten.

Damit müsstest du noch die Bedingung x1 + x2 = 1 hinzunehmen. Das du genau 1 kg anmischen möchtest.

Ich komme damit auf ein Mischungsverhältnis von 1 Teil B1 und 4 Teile B2.

Comments

Deiner Lösung nach zu Urteilen ist dir in der Angabe ein Fehler unterlaufen:

Ein Kilogramm Futter muss folgende Nährstoffe als Minimum enthalten.

A: 80g, B: 50g, C: 40g, D: 2g

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Ok verstehe also alle => einfach <= machen.

Verstehe ich das richtig, dass ich eine weitere Nebenbedingung und zwar x₁ + x₂ = 1, wegen 1 Kilo. Also bei z. B. 6 Kilo Futter wäre es x₁ + x₂ = 6?

Ansonsten sind meine Überlegungen richtig?

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Ok verstehe also alle => einfach <= machen.

Das habe ich weder gesagt noch gemeint.

Verstehe ich das richtig, dass ich eine weitere Nebenbedingung und zwar x1 + x2 = 1, wegen 1 Kilo. Also bei z. B. 6 Kilo Futter wäre es x1 + x2 = 6?

Die Nährstoffe sind pro kg anzugeben und nicht für die komplette Futtermenge.

x1 + x2 = 6 bedeutet dann zwar 6 kg Futter, die brauchen dann aber auch nur 80 g Nährstoff enthalten und das ist verkehrt.

Wenn du es allgemein machen willst, dann muss es wie folgt lauten.

100·x + 200·y ≥ 80·(x + y)

Aber das wird ja nicht einfacher, also definierst du einfach x + y = 1

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Eine Lösung könnte damit wie folgt aussehen

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Ok verstehe das jetzt.

Eine Frage habe ich aber und zwar, wenn es bei der ersten Nebenbedingung nicht => sein soll, was könnte dort Sinn machen bzw. bei den anderen auch?

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Es muss schon >= lauten. Wie gesagt. Wenn du nicht die Einschränkung x + y = 1  kg machst, dann muss die rechte Seite immer noch mit der Menge multipliziert werden.

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Ok danke. x + y = 1  kg verstehe ich weswegen ich das hinschreibe. Danke.

Aber die Frage, die noch im Kopf bleibt wäre, ob meine Zielfunktion richtig ist?

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Ja. Die ist richtig.

Was du dich fragen solltest ist ob du wirklich alle nebenbedingungen brauchst.

Ich hätte da ja gleich überflüssige rausgeworfen.

Die Gleichungen

A: 100x1+200x2 => 80
B: 80x1+150x2 => 50

sind für x1 + x2 = 1 und x1, x2 >= 1 sowieso immer erfüllt oder nicht? Also warum den Ballast mit sich rumschleppen?

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Ja stimmt sehe ich auch danke

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Ich komme damit auf ein Mischungsverhältnis von 1 Teil B1 und 4 Teile B2.

Wie kann man das an dem Graphen erkennen?

Sorry bin neu in diesem Thema, aber verstehe nicht die Schritte.

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Du suchst ja quasi einen Punkt auf der roten Geraden (x + y = 1), der in allen Bereichen enthalten ist und für den die Kosten minimal sind.

x + y = 1 → y = 1 - x

Z = 73x + 55y
Z = 73x + 55(1 - x)
Z = 73x + 55 - 55x
Z = 18x + 55

Du siehst das die Kosten minimal werden, wenn x milimal ist.

Damit ist x = 0.2 und y = 0.8 der Punkt mit dem kleinsten x, welcher gerade noch in allen Bereichen drin ist.

Ist das so klar?

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x + y = 1 → y = 1 - x

Das habe ich auch so und verstehe ich auch.

Z = 73x + 55y
Z = 73x + 55(1 - x)
Z = 73x + 55 - 55x
Z = 18x + 55

Wusste nicht, dass man in die Zielfunktion in die rote Gerade einsetzt.

Also ich verstehe, dass es 0,2 sein muss, weil der Schnittpunkt/Eckpunkt bei 0,2 ist. Aber wie kommt genau die Bestandtteilverteilung?

18*0,2 + 55 = 58,6, aber das kann es ja nicht sein

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Um 1 kg der Mischung zu erhalten mische ich 0.2 kg von B1 und 0.8 kg von B2.

das Mischungsverhältnis ist

0.2:0.8 = 2:8 = 1:4

18*0,2 + 55 = 58,6, aber das kann es ja nicht sein

Das sind die Kosten, die du jetzt für 1 kg der optimalen Mischung bezahlen musst.

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Ach so stimmt die Kosten habe ich völlig vergessen. Jetzt habe ich es danke!