Aufgabe zu Folgen / limes a^(1/n) = 1

Question

Aufgabe zu Folgen

1. Zeige für a > 1, dass \( \lim\limits_{n\to\infty} \) a^1/n  = 1

2. Zeige für a ∈ (0,1), dass \( \lim\limits_{n\to\infty} \) a^1/n = 1

(Tipp: Bernoullische Ungleichung)

Könnte jemand mich retten? Brauche es für ein Übungsblatt :D

Answer 1

Aloha :)

Die Bernoulli-Ungleichung für positive reelle Exponenten \(r\) lautet:$$(1+x)^{\pink r}\pink{\ge1}+rx\quad\text{für }x>-1\;\land\;\pink{r\ge1}$$$$(1+x)^{\pink r}\pink{\le1}+rx\quad\text{für }x>-1\;\land\;\pink{r\le1}$$

Für \(n\to\infty\) ist \(r\coloneqq\frac1n\in[0;1]\), sodass wir die zweite Form brauchen:$$a>0\implies a^{\frac1n}=(1+\underbrace{(a-1)}_{>(-1)})^{\frac1n}\le1+\frac1n(a-1)\stackrel{(n\to\infty)}{\to}1$$Damit haben wir direkt beide Behauptungen gezeigt.

Comments

Danke dir übrigens. Hab`s sogar super verstanden. :D