Tangentenprobleme: Es gibt keine Tangente von außen an den Graphen von f durch den Punkt P

Question

Aufgabe:

Gegeben :

f(u)=u^2

P (p1|p2) mit p2>p1^2

A) Zu zeigen: Es gibt keine Tangente von außen an den Graphen von f durch den Punkt P

B) begründen sie, dass es für jeden Punkt Q(q1|q2) mit q2<q1 zwei Tangenten von außen an den Graphen durch Q gibt.

Problem/Ansatz:

A)

Tangentengleichung:

y=f‘(u)(x-u)+f(u)

Bestandteile:

f‘(u)=2u

x=p1

y=p2

f(u)=u^2

Bestandteile in die Tangentengleichung einsetzten:

p2=2u(p1-u)+f(u)

<=> p2=2u*p1-2u^2+u^2

<=>p2=2u*p1+u^2

Wie gehts es weiter ?

Danke im Voraus ♥️

Comments

P liegt "innen", weil p₂ > p₁². Da kann es die erwähnte Tangente gar nicht geben.

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Bei Deinen Umformungen ist Dir beim Übergang zu Zeile 3 ein -u^2 verloren gegangen...

Answer 1

<=>p2=2u*p1+u²

Wie gehts es weiter ?

Gäbe es so eine Tangente, da hätte ihr Berührpunkt

die x-Koordinate u, es gäbe also ein u, das Lösung

der Gleichung  p2=2u*p1+u² ist.

bzw       p1^2 -p2  =  p1^2 +2u*p1+u² .

               p1^2 -p2  =  (p1+u) ^2

Da p2>p1²  ist die linke Seite negativ und

die rechte ein Quadrat. Diese sind aber in ℝ nie negativ, also

kann die Gleichung keine Lösung haben, somit gibt es

keine solche Tangente.

Und bei B) hat die entsprechende Gleichung immer zwei Lösungen.