Aufgabe:
Es sei \( f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) zweimal stetig differenzierbar und \( f^{\prime}(x) \neq 0 \) für alle \( x \in[a, b] \). Dann ist, für einen Startpunkt \( x_{1} \in[a, b] \), das Newton-Verfahren definiert durch
\( x_{n+1}=x_{n}-\frac{f\left(x_{n}\right)}{f^{\prime}\left(x_{n}\right)},(n>1) . \)
Folgern Sie unter den Voraussetzungen \( x_{n} \in[a, b] \forall n \in \mathbb{N} \) und
\( \left|\frac{f(x) f^{\prime \prime}(x)}{\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}}\right|<1, \forall x \in[a, b] \)
gilt: Die Folge \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) konvergiert und für \( \xi=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n} \) gilt
\( f(\xi)=0 . \)
