Aufgabe: Zeigen Sie, dass für alle z ∈ ℂ sodass |z|<1 und ∈ ℕ gilt:
|\( \frac{1-z^{n+1}}{1-z} \)| ≤ \( \frac{1-|z|^{n+1}}{1-|z|} \)
…
Problem/Ansatz:
Liebe Mathematiker, ich bin dabei diese Ungleichung zu lösen, jedoch komme ich an einem Punkt nicht mehr weiter, da sich die Ungleichung nicht vereinfachen lässt.
Zunächst habe ich den Betrag auf Zähler und Nenner "aufgeteilt", dies ist ja erlaubt:
\( \frac{|1-z^{n+1}|}{|1-z|} \) ≤ \( \frac{1-|z|^{n+1}}{1-|z|} \)
danach habe ich mir mein z definiert mit: z=a+bi , a,b∈ℝ und schließlich eingesetzt:
\( \frac{|1-(a+bi)^{n+1}|}{|1-a+bi|} \) ≤ \( \frac{1-|a+bi|^{n+1}}{1-|a+bi|} \)
danach habe ich versucht den Betrag im Nenner zu berechnen:
\( \frac{|1-(a+bi)^{n+1}|}{\sqrt{(1-a)^{2}+b^{2}}} \) ≤ \( \frac{1-|a+bi|^{n+1}}{1-\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \)
Die beiden Nenner sind leider nicht gleich, weswegen ich nun nicht mehr weiter weiß. Die Gleichung lässt sich nicht vereinfachen und ich stehe nun auf dem Schlau. Mir fehlt also womöglich eine extra Info, die ich anwenden müsste, um weiterzukommen. Ich freue mich über jeden Tipp und bedanke mich im Voraus!
