Zeigen Sie mit Hilfe eines Widerspruchbeweises: wenn A ⊂ B dann A \ B = {}

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie mit Hilfe eines Wiederspruchbeweises die Gültigkeit des folgenden Satzes:

Seien A,B Mengen mit A Teilmenge von B

Dann gilt A\B= {}

Problem/Ansatz:

Wir kommen leider überhaupt nicht weiter wir wissen dass wir jetzt A\B≠ {} machen müssen und dass A\B nun Elemente hat …

Wäre mega lieb wenn uns jemand hilft :D

Answer 1

Hallo,

Ihr seht wahrscheinlich vor lauter Bäumen den Wald nicht.

Nehmen wir an, wir haben eine Grundmenge X mit Teilmengen A und B. Voraussetzung ist jetzt \( A \subset B\), d.h.
$$\forall x \in X: \quad x \in A \Rightarrow x \in B \text{  (1)}$$

Wir wollen zeigen: \(A \setminus B= \{\}\) Dazu nehmen wir an, dies sei falsch, also:

$$\exists a \in A \setminus B, \text{  also } a \in A \text{ und } a \notin B$$

Mit (1) können wir aber schließen:

$$a \in A \Rightarrow a \in B$$

Damit haben wir unseren Widerspruch.

Gruß Mathhilf

Comments

Danke du bist ein Held :)))))