Rekursive Folge: Werte und explizite Formel angeben

Question

Aufgabe: a) Gib die ersten 5 Werte dieser Folge an: \(b_1 = 1, \quad b_n = b_{n−1} + n,\quad n\in \N_{\geq 2}\)

und b) Finde eine explizite Formel für diese rekursive Folge

Answer 1

Hallo :-)

Nach den ersten Probeeinsetzungen sieht man folgendes:

\(b_1=1\)

\(b_2=b_1+2=1+2=3\)

\(b_3=b_2+3=(1+2)+3=6\)

\(b_4=b_3+4=(1+2+3)+4=10\)

\(b_5=(1+2+3+4)+5=15\)

Das sieht sehr nach der gaußschen Summenformel aus, also \(b_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Das kannst du induktiv beweisen, indem du die Rekursion im Induktionsschritt anwendest.