Sind die Folgen konvergent und wenn ja, was ist der Grenzwert?

Question

Aufgabe: Geben Sie an, ob die folgenden definierten Folgen (b_n)_n∈ℕ, (c_n)_n∈ℕ, (d_n)_n∈ℕ konvergent sind und geben Sie gegebenenfalls den Grenzwert an.

Für alle n∈ℕ definiere: b_n  := \( \sqrt{n+1} \)-\( \sqrt{n} \)

                                         c_n := \( \frac{3n^{2}(3+\frac{1}{n!})(3n^{4}-4n^{3})}{2(n^{2}-2)(n^{4}+\sqrt{n^{2}+1})} \)

                                        d_n := qd_n-1 wobei q∈(0,1) und d₀ := 1+\( \sqrt{2} \)

Problem/Ansatz: Ich komme hier leider so gar nicht weiter. Es wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte!

Answer 1

\(  b_n  :=  \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \)  mit \(  \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \) erweitern gibt

\( \frac{( \sqrt{n+1} - \sqrt{n} )( \sqrt{n+1} + \sqrt{n} )}{ \sqrt{n+1} +\sqrt{n} }  \)

\( = \frac{1}{ \sqrt{n+1} +\sqrt{n} }  \)  geht also gegen 0.

c_n :  \( \frac{3n^{2}(3+\frac{1}{n!})(3n^{4}-4n^{3})}{2(n^{2}-2)(n^{4}+\sqrt{n^{2}+1})} \)

  \( = \frac{(3+\frac{1}{n!})(9n^{6}-12n^{5})}{2(n^{6}+n^2\sqrt{n^{2}+1}-2n^4-2\sqrt{n^{2}+1})} \)

  \( = \frac{3+\frac{1}{n!}}{2} \cdot \frac{9n^{6}-12n^{5}}{n^{6}+n^2\sqrt{n^{2}+1}-2n^4-2\sqrt{n^{2}+1}} \)

Der erste Faktor geht gegen 1,5 und der zweite gegen 9, also Grenzwert 13,5.