Zeigen Sie, dass die Ungleichung erfüllt ist.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Beispiel 2 (5 Punkte)
(a) Bcipen sie, dap für alle \( n \in \mathbb{N} \backslash\{0\} \) die Unglichung
\( \sum \limits_{k=1}^{2^{n}-1} \frac{1}{k} \geqslant \frac{n}{2} \)
gilt.
Induktionsanfang: \( n=0 \)
\( \sum \limits_{k=1}^{2^{0}-1} \frac{1}{k} \geqslant \frac{0}{2}=0 \quad \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k}=0 \geqslant 0 \)
Induktionsamahme: \( n=n \quad-11- \) Induktionsschritt: \( n=n+1 \)

Problem/Ansatz:

Kann ich hier den Induktionsschritt nicht schaffen :(((

Help!

LG

Answer 1

Beim Induktionsschritt so:

\(\sum \limits_{k=1}^{2^{n+1}-1} \frac{1}{k} =\sum \limits_{k=1}^{2^{n}-1} \frac{1}{k} +\sum \limits_{k=2^n}^{2^{n+1}-1} \frac{1}{k} \)   #

Dabei ist die erste Summe ≤n/2  (Ind.annahme)

und die zweite besteht aus 2^n Summanden, die alle ≥ \( \frac{1}{2^{n+1}} \) sind,

also die zweite Summe ≥ \( \frac{2^n}{2^{n+1}} = \frac{1}{2} \)

Also geht es bei # weiter mit

≥ \( \frac{n}{2}+ \frac{1}{2} =\frac{n+1}{2} \)   q.e.d.

Comments

wäre sehr froh, wenn Sie mir erklären könnten, wie man die zweite Summe aufschreiben könnte, weil ich ein bissl nicht vertehe :((

Text erkannt:

\( \left.\sum \limits_{k=1}^{2^{n+1}-1} \frac{1}{k}=\sum \limits_{k=1}^{2^{n}-1} \frac{1}{k}+\frac{1}{2^{n+1}-1}\right) \)
\( \left(\sum \limits_{k=2^{n}}^{2^{n+1}-1} \frac{1}{k}\right)=\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{2^{n}+1}+\frac{1}{2^{n}+2}+\cdots+\frac{1}{2^{n}+\cdots} \)

(wahrscheinlich ist es dumm, aber ... genau so schreibe ich diese Summe auf :////   )

und vielen Dank für die Erklärung

LG