Zeigen Sie durch vollständige Induktion über N ∈ ℕ_{0} , dass a_{n}=b_{n} für n= 0, \ldots, N gilt, falls p und q …

Question

Wir betrachten zwei Polynomen \( p(z)=\sum \limits_{n-0}^{N} a_{n} z^{n} \) und \( q(z)=\sum \limits_{n-0}^{N} b_{n} z^{n} \) mit Kocffizienten \( a_{n}, b_{n} \in \mathbb{C} \) für \( n=0, \ldots, N \).
Zeigen Sie durch vollständige Induktion über \( N \in \mathbb{N}_{0} \), dass \( a_{n}=b_{n} \) für \( n= \) \( 0, \ldots, N \) gilt, falls \( p \) und \( q \) identisch sind.

Induktionsanfang und Induktionsvoraussetzung sind klar. Aber beim Induktionsschritt habe ich Probleme, wenn mir das jemand erklären oder zeigen könnte, wäre das super

Comments

Wie kommst du denn von n=0  oder 1 auf den nächsten Schritt?

mit p(z)-q(z)=0 für alle z

lul

Answer 1

Hallo,

es sei also

$$p(z)=\sum_{k=0}^{N+1}a_kz^k \text{  und } q(z)=\sum_{k=0}^{N+1}b_kz^k \text{  und } \forall z: \quad p(z)-q(z)=0$$

Dann folgt zunächst

$$0=p(0)-q(0)=a_0-b_0$$

Daher:

$$\forall z:\quad 0= p(z)-q(z)=\sum_{k=1}^{N+1}a_kz^k -\sum_{k=1}^{N+1}b_kz^k=z \left(\sum_{k=0}^{N}a_{k+1}z^k -\sum_{k=0}^{N}b_{k+1}z^k \right) $$

Dann muss die Polynomdifferenz in der Klammer das Null-Polynom sein. Die Induktionsvoraussetzung liefert dann die Geleichheit \(a_k=b_k\) für \(k=1, \ldots N+1\).

Gruß Mathhilf