Die Relationen überprüfen

Question

Aufgabe:

Überprüfen Sie die folgenden Relationen auf Reflexivität, Symmetrie, Antisymmetrie und Transitivität und geben Sie an, ob es sich um Äquivalenzrelationen handelt:

 \( O:=\mathbb{R} \) und \( f: O \rightarrow \mathbb{R} \) sei beliebig, aber fest,

\( T:=\{(x, y) \in O \times O: f(x)=f(y)\} \subseteq O \times O \)

Problem/Ansatz:

Answer 1

1. Reflexivität:

\(x\in O\Rightarrow f(x)=f(x)\), also \((x,x)\in T\)

2. Symmetrie:

\((x,y)\in T\Rightarrow f(x)=f(y)\Rightarrow f(y)=f(x)\Rightarrow (y,x)\in T\)

3. Transitivität:

\((x,y),(y,z)\in T\Rightarrow f(x)=f(y)\wedge f(y)=f(z)\)

\( \Rightarrow f(x)=f(z)\Rightarrow (x,z)\in T\)