Zeigen Sie, dass es ein Untervektorraum ist

Question

Aufgabe:

Sei A eine m × n-Matrix, A: Kⁿ→ K^m die zugehörige Abbildung und U ⊆ K^m ein Unterraum. Bezeichne mit
A^-1(U) := {v ∈ Kⁿ I Av ∈ U} ⊆ Kⁿ. Zeigen Sie, dass A⁻¹(U) ⊆ Kⁿ ein Unterraum ist und dass gilt Ker(A) ⊆ A^-1(U).

Ich weiß, wie man zeigt, dass etwas ein Untervektorraum ist, aber ich weiß nicht, wie ich mir hier Av vorstellen/beweisen soll. Bei U=(x∈ℚ³ I x₁²+x₂²=0) wäre mir das klar, wie man es beweist, aber bei dieser Beispielaufgabe nicht.

Answer 1

A⁻¹(U) ist ja der Unterraum. Zeige also erstmal

Abgeschlossenheit gegenüber +.

Seien u,v ∈A−1(U)^. ==>   Es gibt x,y ∈ U  mit  u=Ax  und v=Ay

==>   u+v= Ax + Ay = A(x+y) . Also gibt es ein z∈ U mit u+v = Az

(nämlich z=x+y ist in U, weil U ein Unterraum ist und   x,y ∈ U ) ,

also u+v ∈ A^-1(U).

Ähnlich bekommst du auch Abgeschlossenheit

gegenüber S-Multiplikation hin etc.

Und wenn x∈Ker(A) , dann Ax = 0, und wegen 0∈U

also x ∈ A^-1(U).