Aufgabe:
Zeigen Sie die folgende, in der Vorlesung formulierte Folgerung aus dem Austauschsatz: Sei \( U \subseteq K^{n} \) ein Unterraum, dann gilt:
1. U besitzt eine Basis und es gilt \( \operatorname{dim}_{K} U \leq n \).
2. Ist \( \operatorname{dim}_{K} U=n \), so gilt sogar \( U=K^{n} \).
3. Sind die Vektoren \( \mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{r} \in \mathcal{U} \) linear unabhängig, so können wir diese zu einer Basis \( \mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{r}, \mathbf{v}_{r+1}, \ldots, \mathbf{v}_{d} \) von \( U \) ergänzen.
Problem/Ansatz:
Kann mir jemand beim Lösen helfen?
