Beweisen Sie unter den Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie unter den Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes (Theorem 7.1) folgende Abschätzung:

$\left\|\xi-x_{k}\right\|_{0} \leq \frac{L}{1-L}\left\|x_{k-1}-x_{k}\right\|_{0} \text { für alle } k \in \mathbb{N} \text {. }$

Hinweis: Diese Abschätzung ist bekannt als a-posteriori-Abschätzung und liefert eine obere Schranke für den Approximationsfehler des k-ten Iterationsschrittes in Abhängigkeit vom vorangegangen Iterationsschritt. Die aus Theorem $7.1$ bekannte a-priori-Abschätzung $\left\|\xi-x_{k}\right\|_{0} \leq \frac{L^{k}}{1-L}\left\|x_{1}-x_{0}\right\|_{0}$ liefert eine andere obere Schranke hierfür; sie ist im Allgemeinen gröber, kann aber bereits beim ersten Iterationsschritt berechnet werden.

Answer 1

Ich verstehe die Aufgabe so, dass Ihr den Banachschen Fixpunktsatz bewiesen habt und jetzt nur noch diese Abschätzung "nachschiebt". Das Fixpunktproblem sei $x=F(x)$ und $(x_k)$ die Fixpunkt-Iterationsfolge dann:

$$\|\xi-x_k\| \leq \|\xi-x_{k+1}\|+\|x_{k+1}-x_k\|=\|F(\xi)-F(x_{k})\|+\|F(x_{k})-F(x_{k-1})\| \\ \leq L\|\xi-x_k\|+L\|x_k-x_{k-1}\|$$

Daraus folgt die gewünschte Abschätzung.