Aufgabe:
Beweisen Sie unter den Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes (Theorem 7.1) folgende Abschätzung:
\( \left\|\xi-x_{k}\right\|_{0} \leq \frac{L}{1-L}\left\|x_{k-1}-x_{k}\right\|_{0} \text { für alle } k \in \mathbb{N} \text {. } \)
Hinweis: Diese Abschätzung ist bekannt als a-posteriori-Abschätzung und liefert eine obere Schranke für den Approximationsfehler des k-ten Iterationsschrittes in Abhängigkeit vom vorangegangen Iterationsschritt. Die aus Theorem \( 7.1 \) bekannte a-priori-Abschätzung \( \left\|\xi-x_{k}\right\|_{0} \leq \frac{L^{k}}{1-L}\left\|x_{1}-x_{0}\right\|_{0} \) liefert eine andere obere Schranke hierfür; sie ist im Allgemeinen gröber, kann aber bereits beim ersten Iterationsschritt berechnet werden.
