Benutzen Sie die Determinantenregeln.

Question

Aufgabe:

Durch 3 Punkte \( \left(x_{0}, y_{0}\right),\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right) \) soll eine Kurve der Form

\( y=a_{0}+a_{1} \cdot x+a_{3} \cdot x^{3} \)

gelegt werden. Stellen Sie das lineare Gleichungssystem auf und untersuchen Sie, in welchem der beiden folgenden Fälle die Lösung eindeutig ist.

(a) \( \left(x_{0}, y_{0}\right)=(-1,0),\left(x_{1}, y_{1}\right)=(0,0),\left(x_{2}, y_{2}\right)=(2,6) \)

(b) \( \left(x_{0}, y_{0}\right)=(-1,-1),\left(x_{1}, y_{1}\right)=(0,0),\left(x_{2}, y_{2}\right)=(1,1) \)

Tipp: Benutzen Sie die Determinantenregeln.

Problem/Ansatz:

Ich habe hierfür tatsächlich absolut keinen Ansatz wie ich vorgehen soll. Diese Aufgabe ist ein Teil meiner Hausaufgabe, dazu gibt es lediglich einen verweis auf unser Mathe Skript doch auch das bringt mich hier gerade nicht weiter. Ein LGS soll von sowohl Aufgabenteil a) als auch teil b) gemacht werden und z.Z. ist bei welchem der beiden die Lösung eindeutig ist. a) und b) sollen aber dennoch gesondert behandelt werden wenn ich das richtig verstanden habe?

Generell soll die Kurve ja die Form mit a3*x^3 haben, finde im Internet nur beispiele mit x^2 und auch da ohne Determinantenregel (wobei ich auch hier nicht genau weiß, wass damit gemeint ist).

Ich hoffe mir kann jemand mit einem Ansatz o.ä. für die Aufgabe weiterhelfen.

Beste Grüße,

fvaltrock

Answer 1

a) und b) sollen sicher zwei verschiedene Aufgaben sein. Der Ansatz \(y=a_{0}+a_{1} \cdot x+a_{3} \cdot x^{3} \) ist für drei gegebene Punkte dann eindeutig lösbar, wenn die Punkte Vektoren repräsentieren, die linear unnabhängig sind. Das ist bei a) der Fall, aber bei b) nicht.

Comments

Servus, vielen lieben dank für deinen Ansatz/Lösung.

Hat die Aussage, dass es immer eindeutig Lösbar ist, wenn die Punkte Vektoren repräsentieren, die linear unabhängig sind, damit zu tun, dass es lediglich für 2 Punkte nur dann unlösbar ist, wenn diese Punkte übereinander oder untereinander liegen?

LG
fvaltrock

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Deine Frage verstehe ich nicht. Die Graphen von f(x)=0+0·x+1·x³ und g(x)=0+1·x+0·x³ erfüllen beide die Bedingungen von Aufgabe b). Also gibt es bei b) keine eindeutige Lösung.

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Jetzt verstehe ich nicht was du da machst...welche Werte setzt du denn da für unser a0 und a3 ein?

Meine Frage war die, dass ich mir nicht ganz genau erschließen kann, wie diese Bedingung zustande kommt. Ich hatte deinem ersten Kommentar entnommen, dass es bereits ausreicht lediglich nach der Linearen Unabhängigkeit der Vektoren zu schauen.

Also den Punkt transformiert in der Vektorschreibweise mit nem anderen Punkt transformiert in Vektorschreibweise sowie einem Vorfaktor. Wenn alle linear unabhängig sind wie bei der a) ist es lösbar, nicht aber wenn es wie bei der b) auch lineare Abhängigkeit zwischen zwei Punkten in Vektorschreibweise gibt.

LG

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Die Punkte (r|s) und (kr|ks) repräsentieren zwei linear abhängige Vektoren \( \begin{pmatrix} r\\s \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} kr\\kr \end{pmatrix} \). Setzt du die Punkte in \(y=a_{0}+a_{1} \cdot x+a_{3} \cdot x^{3} \) ein, so erhältst du zwei äquivalente Gleichungen.

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Danke für deine Mühe und Zeit, meine es jetzt verstanden zu haben :) Guten Start in die Woche!