Ich habe folgende Aufgabe:
Wir betrachten einen Wahrscheinlichkeitsraum \( (\Omega, \mathcal{A}, P) \) und eine reellwertige Zufallsvariable \( X:(\Omega, \mathcal{A}) \rightarrow(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R})) \).
a) Nehmen wir nun an, dass \( (Vert(\{ x\})=) X_{*}(P)(\{x\})=P(X=x) \neq 0 \) für ein \( x \in \mathbb{R} \) gilt. Zeigen Sie, dass dann die Verteilungsfunktion \( F_{X} \) nicht stetig in diesem \( x \) ist.
b) Diese Aussage kann man noch verschärfen. Beweisen Sie, dass \( F_{X} \) dann und nur dann stetig ist, falls \( P(X=x)=0 \) für alle \( x \in \mathbb{R} \).
Problem/Ansatz:
Ich gehe mal davon aus, dass es sich um eine diskrete Zufallsvariable handelt. Dann ist \( F_X(x)=P(X \leq x) \) mit den Eigenschaften, dass \( F_X \) rechtsstetig ist, auf den reellen Zahlen monoton steigt und \( \lim\limits_{x\to\infty}=1 \) \( \lim\limits_{x\to -\infty}=0 \).
Ich habe versucht irgendwie zz, dass der rechte Grenzwert von \( F_{X} \) ungleich dem linken ist. Da bin ich nicht wirklich weiter gekommen. Dann dachte ich mir, dass ich vielleicht eine Folge \(x_n \) definieren könnte, um irgendwie \( \lim\limits_{n\to\infty}F_X(x_n) \neq F(x) \), leider Stellt sich das bei einer Einelementigen Menge auch nicht gerade als zielführend raus. Kann mir da jemand weiterhelfen, bzw. auch ein Tipp für die b) geben. Den Satz aus b) hab ich auch recht häufig in der Literatur gelesen, leider immer ohne Beweis.
