Aloha :)
zu a) Wir formen die Summanden zunächst etwas um:$$S=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-2)^n}{3^{2n+1}}=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-2)^n}{3^{2n}\cdot3^1}=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-2)^n}{(3^2)^n\cdot3^1}=\frac13\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-2)^n}{9^n}=\frac13\sum\limits_{n=1}^\infty\left(-\frac29\right)^n$$Das ist schon fast eine unendliche geometrische Reihe \((\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}\;;\;|q|<1)\).
Nur der untere Startindex der Summe stimmt noch nicht, der muss \(0\) sein:$$\phantom{S}=\frac13\left(\sum\limits_{n=1}^\infty\left(-\frac29\right)^n+\left(-\frac29\right)^0-\left(-\frac29\right)^0\right)=\frac13\left(\sum\limits_{n=\pink0}^\infty\left(-\frac29\right)^n-1\right)$$$$\phantom{S}=\frac13\left(\frac{1}{1-\left(\frac29\right)}-1\right)=\frac13\left(\frac{1}{\frac{11}{9}}-1\right)=\frac13\left(\frac{9}{11}-1\right)=\frac13\cdot\frac{(-2)}{11}=-\frac{2}{33}$$
zu b) Wir machen einen Zwischenschritt, indem wir zunächst als obere Grenze \(N\) anstatt \(\infty\) wählen. Damit machen wir etwas Term-Gymnastik und bilden abschließend den Grenzwert \(N\to\infty\):$$S_N=\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{4n^2-1}=\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac12\sum\limits_{n=1}^N\frac{\pink2}{(2n-1)(2n+1)}$$$$\phantom{S_N}=\frac12\sum\limits_{n=1}^N\frac{\pink{(2n+1)-(2n-1)}}{(2n-1)(2n+1)}=\frac12\sum\limits_{n=1}^N\left(\frac{\green{(2n+1)}}{(2n-1)\green{(2n+1)}}-\frac{\blue{(2n-1)}}{\blue{(2n-1)}(2n+1)}\right)$$$$\phantom{S_N}=\frac12\sum\limits_{n=1}^N\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)=\frac12\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{2n-1}-\frac12\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{2n+1}$$$$\phantom{S_N}=\frac12\sum\limits_{n=1\pink{-1}}^{N\pink{-1}}\frac{1}{2(n\pink{+1})-1}-\frac12\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{2n+1}=\frac12\sum\limits_{n=0}^{N-1}\frac{1}{2n+1}-\frac12\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{2n+1}$$$$\phantom{S_N}=\frac12\left(\frac{1}{2\cdot0+1}+\pink{\sum\limits_{n=1}^{N-1}\frac{1}{2n+1}}\right)\pink-\frac12\left(\pink{\sum\limits_{n=1}^{N-1}\frac{1}{2n+1}}+\frac{1}{2N+1}\right)$$$$\phantom{S_N}=\frac12-\frac{1}{2(2N+1)}$$Nun bilden wir den Grenzwert, wodurch der zweite Term verschwindet:$$S_\infty=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{4n^2-1}=\lim\limits_{N\to\infty}\left(\frac12-\frac{1}{2(2N+1)}\right)=\frac12$$
