Kritische Punkte einer Elememtarfunktion bestimmen

Question

Aufgabe:

… Bestimmen Sie alle kritischen Punkte

(u, v) der durch f(x, y) = 1/y−1/x− 4x + y + 3

gegebenen Elementarfunktion auf ihrem natürlichen Definitionsbereich xy ungleich 0 .

Problem/Ansatz:

… Wie komme ich hier auf das Ergebnis. Danke schonmal im voraus für eure Hilfe :)

Answer 1

Aloha :)

Die kritischen Punkte der Funktion$$f(x;y)=\frac1y-\frac1x-4x+y+3$$sind diejenigen, bei denen der Gradient verschwindet:$$\binom{0}{0}\stackrel!=\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{\frac{1}{x^2}-4}{-\frac{1}{y^2}+1}\implies\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{x^2}=4 &\implies x^2=\frac14 &\implies x=\pm\frac12\\[1ex]\frac{1}{y^2}=1 &\implies y^2=1 &\implies y=\pm1\end{array}\right.$$Das liefert uns vier kritische Punkte:$$\left(-\frac12\bigg|-1\right)\;;\;\left(-\frac12\bigg|+1\right)\;;\;\left(+\frac12\bigg|-1\right)\;;\;\left(+\frac12\bigg|+1\right)$$