Bestimmen Sie die Vorschrift der Isokostenfunktion I_{K} , wenn genau K GE zur Verfügung stehen.

Question

Aufgabe:

Das Pharmaunternehmen Medipharm AG baut zur Herstellung eines homöopathischen Medikaments die Pflanze Arnika an.

a) Der Einsatz der beiden Produktionsfaktoren Dünger (x) und Arbeit (y) kann durch folgenden funktionalen Zusammenhang angenähert werden: \( I(x)=y=a+\frac{b}{x+c} ; a, b, c \in \mathbb{R}, a, b>0, c \neq 0 \).
Der Output von 500 (ME) wird durch die folgenden Faktormengenkombinationen erzielt:

x Dünger in ME 4 6 10
y Arbeit in ME   4 3 2,5

Weisen Sie nach, dass für die Isoquantenfunktion \( \left.\right|_{500} \) gilt: \( I_{500}(x)=2+\frac{4}{x-2} \).

b) Der Preis für eine ME des Produktionsfaktors Dünger beträgt \( 4 \mathrm{GE} \), eine \( M E \) des Produktionsfaktors Arbeit kostet \( 2 \mathrm{GE} \). Bestimmen Sie die Vorschrift der Isokostenfunktion \( I_{K} \), wenn genau K GE zur Verfügung stehen. Berechnen Sie die Faktormengenkombinationen, die bei Einsatz von \( \mathrm{K}=40 \mathrm{GE} \) möglich sind. Bestimmen Sie die Minimalkostenkombination. Berechnen Sie die dabei entstehenden Kosten K*.

Answer 1

Wobei hast du konkret Probleme?

Comments

Ich weiß ehrlich gesagt nicht was bei der ersten Aufgabe mit ,,Bestimmen Sie die Vorschrift der Isokostenfunktion \( I_{K} \), wenn genau K GE zur Verfügung stehen.“ gemeint ist.

Bei der Aufgabe „Berechnen Sie die Faktormengenkombinationen, die bei Einsatz von \( \mathrm{K}=40 \mathrm{GE} \) möglich sind.“ habe ich lk40(x)= l500(x) gerechnet und bin auf die Schnittpunkte P(2,30|15,40) und P(8,70|2,60) gekommen und bin mir unsicher, ob es richtig ist, da ich nicht denn Sinn hinter diesem Rechenweg verstanden habe.

Und bei der Aufgabe „Bestimmen Sie die Minimalkostenkombination. Berechnen Sie die dabei entstehenden Kosten K*.“ bin ich auf negative Werte gekommen und glaube daher das ich hier was falsch gerechnet habe

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Die Kosten belaufen sich auf

K = 4·x + 2·y

Wenn man das nach y auflöst erhält man

y = 1/2·K - 2·x

oder als Isokostenfunktion

I_K(x) = 1/2·K - 2·x

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Also müsste ich für diese Aufgabe „Bestimmen Sie die Minimalkostenkombination. Berechnen Sie die dabei entstehenden Kosten K*.“ für K=40 eingeben und dann lk40'(x)=l500'(x) berechnen oder? Allerdings komme ich dann auf negative Werte….

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Die Faktormengenkombinationen beim Einsatz von 40 GE sind

(x, y) =  (x, 20 - 2·x)

Hier macht die Suche nach der Minimalkostenkombination allerdings keinen Sinn, weil wir ja immer 40 GE an Kosten haben.

Du könntest nur einen Output wie z.B. von 500 ME zu einer Minimalkostenkombination produzieren.

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Irgendwie verstehe ich es nicht warum die MKK  keinen Sinn ergibt

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Wenn du Faktormengenkombinationen berechnest, die alle die gleichen Kosten von 40 GE haben, dann gibt es darunter eben keine mit minimalen Kosten bzw. es sind alle Kosten gleich. Daher macht das keinen Sinn. Daher einfach mal beim Ersteller des Arbeitsblattes nachfragen, wovon genau die Minimalkostenkombination berechnet werden soll.

Nimm sonst einfach die 500 ME, die unter b) genannt sind.

K = 4·x + 2·(2 + 4/(x - 2)) = 4·x·(x - 1)/(x - 2)

K' = 4·(x^2 - 4·x + 2)/(x - 2)^2 = 0 --> x = 2 ± √2

Bei x = 2 + √2 = 3.414 ME und y = 4.828 ME erreicht man die geringsten Kosten mit K = 23.31 GE

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Wenn ich in der Funktion l500(x) x=6 einsetze kommt ja l500(6)=3 raus. Wie kann ich das jetzt wirtschaftlich interpretieren?

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Wenn man 500 ME produzieren möchte und 6 ME Dünger einsetzt, muss man noch 3 ME Arbeit einsetzen.

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Nicht 3ME Arbeit ?

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Nicht 3ME Arbeit ?

Doch natürlich 3 ME. Die 2 war ein Tippfehler. Ich korrigiere das gerne.