Tangente an einer Stelle X0 berechnen

Question

Aufgabe: Tangente einer Funktion um eine Stelle X₀ berechnen

Übung:
1. Berechnen Sie die Tangente der folgenden Funktion an der Stelle
\( \mathrm{x}_{0}=0 \quad y=e^{-2 x} \cdot \cos (4 x+\pi) \)

Problem/Ansatz:

Ich bin mit der allgemeinen Formel y= mx+c auf das Ergebnis y= 2x-1 gekommen, weiß aber nicht ob man das so machen kann, wenn man um eine Stelle x₀ bildet. Unser Lehrer hatte uns für die Aufgabe die Formel y= f '(x₀) * (x-x₀)+ f(x₀) mitgegeben. Kann das jemand mit der Formel ausrechnen, ich komme da auf kein richtiges Ergebnis.

Answer 1

f(x) = e^(- 2·x)·COS(4·x + pi)

f(x) = - e^(- 2·x)·COS(4·x)

f'(x) = 2·e^(- 2·x)·(COS(4·x) + 2·SIN(4·x))

Tangente an einer Stelle a

t(x) = f'(a)·(x - a) + f(a)

t(x) = 2·e^(- 2·a)·(COS(4·a) + 2·SIN(4·a))·(x - a) - e^(- 2·a)·COS(4·a)

Sieht natürlich etwas schrecklich aus, wenn die Stelle a = x0 nicht näher bekannt ist.

Comments

Danke erstmal für die schnelle Lösung, aber ich habe doch angegeben dass X0 = 0. Wie sähe da die Lösung aus? Einfach X0 in a einsetzen und umformen?
Und noch was. Eine Tangente ist ja eine Gerade und das was du raushast, ist keine Gerade, verstehe da den Zusammenhang zwischen Tangente und Gerade in dem Fall nicht

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Doch was ich raus habe, ist eine Gerade. Ich setze mal a = 0 ein und vereinfache

t(x) = 2·e^(- 2·0)·(COS(4·0) + 2·SIN(4·0))·(x - 0) - e^(- 2·0)·COS(4·0)

t(x) = 2·1·(1 + 2·0)·(x - 0) - 1·1

t(x) = 2·x - 1

War mein Fehler, dass ich die angegebenen x0 = 0 irgendwie übersehen habe. Wenn das bekannt ist kann man sich vorher schon viele Sachen ausrechnen und vereinfachen.

f(x) = - e^(- 2·x)·COS(4·x)
f(0) = - e^(- 2·0)·COS(4·0) = -1

f'(x) = 2·e^(- 2·x)·(COS(4·x) + 2·SIN(4·x))
f'(0) = 2·e^(- 2·0)·(COS(4·0) + 2·SIN(4·0)) = 2

t(x) = f'(0)·(x - 0) + f(0)
t(x) = 2·x - 1

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Vielen Dank, du bist der Wahnsinn, hast mir sehr damit geholfen