Grenzwert von folgen.

Question

Aufgabe:

Seien \( \alpha, a, b \in \mathbb{R} \) und seien \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}},\left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) Folgen in \( \mathbb{R} \). Zeigen Sie, dass die folgende Aussage falsch ist:
(i) \( \left|a_{n}\right| \rightarrow|a| \quad(n \rightarrow \infty) \Rightarrow a_{n} \rightarrow a \quad(n \rightarrow \infty) \).

Problem/Ansatz:

Hallo, hat jemand eventuell einen Ansatz, wie ich hier vorgehen kann?

Answer 1

Hier kann man einfach eine alternierende Folge als Gegenbeispiel nehmen, zum Beispiel \(a_n=(-1)^n\). Jetzt gilt zwar \(|a_n|\rightarrow 1\), aber die Folge selbst konvergiert überhaupt nicht.