Du könntest die lineare Abbildung auch als Matrix schreiben:
$$A =\begin{pmatrix} \lambda & -\lambda & 0 \\ 1-\lambda & 1 & \lambda \\ \lambda & 0& \lambda\end{pmatrix}$$
Es ist
$$\det A =2\lambda^2(1-\lambda)$$
Das heißt, nur für \(\lambda = 0\) und \(\lambda = 1\) ist \(\ker f \neq \{o\}\).
\(\lambda = 0\):
$$A =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0& 0\end{pmatrix}\Rightarrow x=-y \text{ und } z \text{ beliebig}$$
$$\Rightarrow \begin{pmatrix} x\\y \\z\end{pmatrix}=y\begin{pmatrix} -1\\1 \\0\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix} 0\\0 \\1\end{pmatrix}$$
Basis von \(\ker f:\: \left\{\begin{pmatrix} -1\\1 \\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\0 \\1\end{pmatrix}\right\}\)
\(\lambda = 1\):
$$A =\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\\ 1& 0& 1\end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\\ 0& 0& 0\end{pmatrix}\Rightarrow y=-z, x=y$$
$$\Rightarrow \begin{pmatrix} x\\y \\z\end{pmatrix}=z\begin{pmatrix} -1\\-1 \\1\end{pmatrix}$$
Basis von \(\ker f:\: \left\{\begin{pmatrix} -1\\-1 \\1\end{pmatrix}\right\}\)
(b) \(\begin{pmatrix} 4\\4\\-4 \end{pmatrix}\) liegt nur in \(\ker f\) für \(\lambda = 1\).
Da das Bild von f von den Spalten der Matrix A aufgespannt wird, musst du nur zwei unabhängige Spalten von A wählen:
Basis von Bild von f (für \(\lambda = 0\)) zum Beispiel: \(\left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}\right\}\)
