Berechnung eines Firmenlogos ( Analysis )

Question

Aufgabe (Analysis):

Für ein Dentallabor soll zu Werbezwecken ein Firmenlogo entwickelt werden, das die Form des sichtbaren Teiles eines eines Backenzahns hat. Der Umriss wird durch einen Teil des Graphen einer ganzrationalen Funktion \( f \) modelliert, die für \( x \in \mathbb{R} \) durch die Funktionsleichung \( f(x)=-\frac{1}{8} x^{4}+\frac{1}{2} x^{2}+4 \) gegeben ist. Eine Längeneinheit entspricht dabei \( 1 \mathrm{m} \).

a) Begründen Sie, dass der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, und zeigen Sie, dass \( x_{1}=2 \sqrt{2} \) eine Nullstelle von \( f \) ist.

Das Labor hat für die Anfertigung des Logos eine Bedingung vorgegeben. Der Höhenunterschied zwischen Hochpunkt und Tiefpunkt des Logos soll genau 0,5 m betragen. Zeigen Sie, dass die Modellierung mit der Funktion \( f \) diese Bedingung erfüllt.

Skizzieren Sie den Graphen der Funktion \( f \) im intervall \( [-3 ; 3] \)

b) Das Logo soll aus einer Kunststoffplatte gefräst werden.

Berechnen Sie den minimalen Flächeninhalt \( A \) einer trapezförmigen Kunststoffplatte.,wenn deren Unterkante die x-Achse ist und die Platte seitlich durch die Tangenten in den Nullstellen der modellierenden Funktion begrenzt wird.

Kontrolle: \( A=23,07 \mathrm{m}^{2} \)

Bestimmen Sie den prozentualen Materialverlust bei der Herstellung des Logos.

c) Innerhalb des Logos soll der Name des Dentallabors in einem Rechteck erscheinen. Bestimmen Sie die Breite dieses Rechtecks so, dass dessen Flischeninhalt maximal ist.

d) Das Firmenlogo soll nun durch eine Zahnwurzel zu einem vollständigen Zahn, ähnlich der Abbildung unten, ergänzt werden. Die Zahnwurzel, also der nicht sichtbare untere Teil des Zahnes, soll durch eine ganzrationale Funktion \( p \) vierten Grades modelliert werden.

Begründen Sie, dass keine Funktion \( p \) vierten Grades gefunden werden kann, so dass die Graphen von \( f \) und \( p \) knickfrei ineinander inbergehen.

Ansatz:

Ich glaube Nr. 1a 1 habe ich soweit richtig gerechnet. Bei Aufgabe 1 a 2 war ich mir jedoch nicht Sicher und habe deshalb auf der zweiten Seite angefangen zurechnen. Aufgabe 1 a 3 sollte ich auch schaffen.

Könnte jemand die Aufgaben auf Richtigkeit prüfen und mir bei der Aufgabe 1 a 2 Helfen. Zudem bin ich bei den weiteren Aufgaben (b,c,d) ratlos.

\( f^{\prime}(x)=-\frac{1}{2} x^{2}+x =0 \)
\( 0=-\frac{1}{2} x^{3}+x \quad | \text{x ausklammern} \)
\( x \left(-\frac{1}{2} x^{2}\right) \quad \rightarrow x_1 = 0 \)
\( -\frac{1}{2} x^{2} \quad \rightarrow ? \)

Answer 1

Was du gerechnet hast hat soweit Hand und Fuß, nur im letzten Schritt hast du einen Fehler gemacht: Wenn du aus

-1/2 x³ + x

ein x ausklammerst, dann darfst du die 1 nicht vergessen!

-1/2 x³ + x = x*(-1/2 x² + 1)

Damit bekommst du die eine Lösung x = 0, die du bereits genannt hast aber noch zwei weitere, die sich aus den Nullstellen des zweiten Faktors ergeben

0 = -1/2 x² + 1

x² = 2

x = ±√2

Wegen der Symmetrie der Funktion reicht es nun den Höhenunterschied für eine Funktion auszurechnen, also zu zeigen, dass

|f(0) - f(√2)| = 0.5

gilt. Das ist sehr leicht auszurechnen und du wolltest ja nur Ansätze haben... :-)

 

b) Hier brauche ich nun das Schaubild der Funktion, deswegen reiche ich es gleich mal nach, gemeinsam mit dem gewünschten Trapez:

Das braune ist die Kunststoffplatte, aus der der Zahn ausgeschnitten werden soll.

Die Grundseite kennen wir bereits:
AB = 4*√2

Außerdem wissen wir die y-Koordinate der Punkte D und E:
y = f(√2) = 4.5

 

Jetzt brauchen wir noch die Funktion der Tangenten im Punkt A, dann können wir die x-Koordinate von D ausrechnen und kennen dann die Höhe h und die Länge der beiden parallelen Seiten a und c des Trapezes und können gemäß

A = h*(a+c)/2

den Flächeinhalt ausrechnen.

 

Die Tangente besitzt zwei charakteristische Größen:

I.  t(-2√2) = 0

II. t'(-2√2) = f'(-2√2)

Da sie eine lineare Funktion ist, können wir sie also in der Form

t(x) = m*(x+2√2)

schreiben, wobei m = f'(-2√2) gilt.

f'(x) = -1/2 x³ + x
f'(-2√2) = 1/2*16*√2 -2√2 = 6√2

Die Tangente lautet also: t(x) = 6√2*(x+2√2)

Um die x-Koordinate x_D von D zu ermitteln, muss t(x_D) = 9/2 gesetzt werden:

9/2 = 6√2*(x_D+2√2)

3/(4√2) = x_D + 2√2

x_D = -2√2 + 3/(4√2) ≈ -2.2981

Damit erhält man c = 2*|x_D| = |3/(2√2) - 4√2| ≈ 4.5962

Wir haben jetzt also c und außerdem

a = 4√2
h = 9/2

Damit folgt:
A = 9/2*(4√2 + |3/(2√2) - 4√2|)/2

A ≈ 23.07 m²

 

Um den Materialverlust auszurechnen musst du nun die Fläche A_Z des Zahns ausrechnen, indem du die Funktion f(x) zwischen ihren beiden Nullstellen integrierst.

A_z = ∫_a^b f(x) dx

a = -2√2
b = 2√2

Den prozentualen Verlust erhält man dann gemäß:

p = (A-A_z)/A

 

c) Hier soll das maximale Rechteck der folgenden Form gefunden werden:

 

Das wird am besten abhängig von der x-Komponente des Punktes B berechnet:
Das Rechteck hat dann den Flächeninhalt:

A_R(x) = 2x*f(x)
A_R(x) = -1/4 x⁵ + x³ + 8x

Für einen Extremwert wird A_R'(x) = 0 gesetzt und die möglichen Lösungen berechnet.

Man erhält die Lösung x = 2, für die Breite also x = 4. (Rechne das nach!)

 

d) Für einen flüssigen Übergang ohne Knick müssen im Übergangspunkt nicht nur die Funktionswerte, sondern auch die Ableitungen übereinstimmen. Allerdings ist f(x) nach dem Übergangspunkt eine steigende Funktion und die Unterseite (ich nenne sie mal h(x) eine fallende Funktion. Daraus folgt, dass ein flüssiger Übergang nur für eine senkrechte Tangente, also eine unendlich große Steigung möglich ist.
Ganzrationale Funktionen sind aber auf ganz ℝ differenzierbar, insbesondere ist ihre Steigung auf einem abgeschlossenen Intervall also beschränkt. Daraus folgt, dass eine ganzrationale Funktion keinen solchen Punkt mit unendlich hoher Steigung geben kann, also ist immer ein Knick im Übergang.

Answer 2

Mal zu dem, was du da begonnen hast:

Als Nullstellen sollten ±2√2 rauskommen.

- 0.5 x^3 + x =0

- 0.5 x(x^2 - 2) = 0

x₁ = 0 . lokales Minimum f(0) = 4

x₂ = √2, x₃ = - √2 lokale Maximalstellen.

f(±√2) = -1/8* 4 + 1/2 * 2 + 4 = -0.5 + 1 + 4 = 4.5

4.5 - 4 = 0.5 also der verlangte Höhenunterschied von 0.5 Metern.