Bestimmen Sie eine Basis des Unterraums U:=\left\{p ∈ \operatorname{Pol}_{ℝ}^{3} ; p(1)=0\right\} .

Question

Es bezeichne \( \operatorname{Pol}_{\mathbb{R}}^{3}:=\left\{p \in \operatorname{Pol}_{\mathbb{R}} ; \operatorname{deg}(p) \leq 3\right\} \) den Raum der reellen Polynome mit Grad höchstens drei. Bestimmen Sie eine Basis des Unterraums \( U:=\left\{p \in \operatorname{Pol}_{\mathbb{R}}^{3} ; p(1)=0\right\} \).

Answer 1

Die Polynomdivision \((ax^3 + bx^2 + cx + d):(x-1)\) liefert den Rest \(0\).

Comments

Und was soll man sich jetzt darunter vorstellen, wenn der Rest 0 ist

---

es existiert eine Nullstelle und somit ein Untervektorraum

---

Die Polynomdivision liefert dir einen Term für den Rest.

Diesen setzt du = 0 und bekommst dadurch eine Gleichung, die die Koeffizienten \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) erfüllen müssen, damit

        \(ax^3 + bx^2 + cx + d \in U\)

ist.

Die Gleichung kannst du dann verwenden um eine Basis von \(U\) zu bestimmen.

---

Dankeschön aber ich kann Basen nur bestimmen, wenn Vektoren gegeben sind. Mit Polynomen weiß ich leider nicht, wie ich da vorgehen soll

---

Wie sieht deine Gleichung aus?

---

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0

---

Der Term

        \(ax^3 + bx^2 + cx + d\)

ist nicht der Rest der Polynomdivision

        \((ax^3 + bx^2 + cx + d):(x-1)\).

---

also der Polynomdivisionsrechner liefert:

x^2 + 2x + 3 + (4) / (x-1)

---

Dann irrt sich der Polynomdivisionsrechner oder du hast nicht das richtige in den Polynomdivisionsrechner eingegeben.

---

ich habe:

x^3 + x^2 + x + 1 / (x-1) 

in den Rechner eingegeben

---

Du sollst aber die Polynomdivision

      \((ax^3 + bx^2 + cx + d)/(x-1)\)

ausführen und nicht die Polynomdivision

      \((x^3 + x^2 + x + 1)/(x-1)\).

---

das habe ich ja schon versucht, aber dann zeigt er mir das an:

https://www.matheretter.de/rechner/polynomdivision

---

Dann musst du die Polynomdivision wohl von Hand berechnen. Oder ein richtiges Computeralgebrasystem verwenden.

das habe ich ja schon versucht, aber dann zeigt er mir das an:

"Dann gebe ich halt etwas anderes ein, dass mit meinem Problem vieleicht überhaupt nichts zu tun hat" ist keine gute Lösungsstrategie

---

also das Polynom : x^3 - 6x^2 - x + 6 / (x-1)

liefert: x^2 - 5x - 6 und den Rest 0 ist das jetzt korrekt?

---

Du sollst aber die Polynomdivision

        \((ax^3 + bx^2 + cx + d)/(x-1)\)

ausführen und nicht die Polynomdivision

        \((x^3 - 6x^2 - x + 6)/(x-1)\).

Insbesondere sollst du nicht die Parameter \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) durch irgendwelche Zahlen ersetzen.

---

ok dann weiß ich nicht mehr weiter sorry

---

Dann lies dir mal diese Antwort durch.

---

Endlich mal eine vernünftige Hilfe. Vielen Dank!

---

 (ax³ + bx²   +  cx   +   d) : (x - 1) = ax² + (a+b)x + (a+b+c)
-(ax³ - ax²)
------------
    (a+b)x²
  -((a+b)x - (a+b)x))
  ------------------
           (a+b+c)x
         -((a+b+c)x - (a+b+c))
         ---------------------
                      a+b+c+d

Der Rest der Polynomdivision

        \((ax^3 + bx^2 + cx + d)/(x-1)\)

ist \(a+b+c+d\).

Gleich \(0\) setzen ergibt

         \(a+b+c+d = 0\).

Nach \(d\) auflösen ergibt

         \(d = -(a+b+c)\).

Jedes Polynom in \(U\) hat also die Form

        \(p(x) = ax^3 + bx^2 + cx - (a+b+c)\).

Umformen ergibt

        \(p(x) = a(x^3-1) + b(x^2 - 1) + c(x-1)\).

Ein Polynom ist deshalb genau dann in \(U\), wenn es sich als Linearkombination der Poylnomoe \(x^3 - 1\), \(x^2 - 1\) und \(x-1\) schreiben lässt.

---

okay vielen Dank :)

---

Danke das hat uns auch sehr geholfen.

Wir struggeln auch mit den HA für LiNa :))))

Jetzt habe ich es endlich verstanden.