Rechnen mit Matrizen und geordneten Basen?

Question

$$\text{Sei }V=V_2(\mathbb{Q}).\text{ Es sei } \underline{B} =(e_1,e_2) \text{ die geordnete Standardbasis von V sowie } \underline{C}:=(\binom{1}{2}, \binom{0}{-1}) \text{ und } \underline{D}:=(\binom{1}{1}, \binom{3}{2}).$$

$$\text{a) Zeigen Sie, dass } \underline{C} \text{ und }\underline{D} \text{ (geordnete) Basen von V sind und bestimmen Sie die Matrizen }$$

$$ Mat(\iota_{\underline{C}}) \text{ und } Mat(\iota_{\underline{D}}) \text{ zu } \iota_{\underline{C}}:V_2(\mathbb{Q})\rightarrow V \text{ und } \iota_{\underline{D}}:V_2(\mathbb{Q})\rightarrow V $$

$$\text{b) Berechnen Sie } Mat^{\underline{B}}_{\underline{C}}(id_V),\text{ }Mat^{\underline{B}}_{\underline{D}}(id_V),\text{ }Mat^{\underline{D}}_{\underline{B}}(id_V),\text{ }Mat^{\underline{C}}_{\underline{B}}(id_V)$$

$$\text{c) Betrachten Sie die } \mathbb{Q}-\text{lineare Abbildung} F:V_2(\mathbb{Q}) \rightarrow V, \binom{v_1}{v_2} \mapsto\binom{v_1+2v_2}{-v_1-v_2}$$

$$\text{Geben Sie } Mat^{\underline{B}}_{\underline{B}}(f)\text{ an und berechnen Sie die Matrizen } M:=Mat^{\underline{C}}_{\underline{C}}(f)\text{ },\text{ }N:=Mat^{\underline{D}}_{\underline{D}}(f),\text{ }L:=Mat^{\underline{D}}_{\underline{C}}(id_V)$$

$$\text{Argumentieren Sie ohne Rechnung, dass LM-NL die Nullmatrix ist.}$$

Wie geht man da heran? Also ich bräcúchte einen Tipp, wie man die Matrixen bestimmt, dann sind die einzelnenAufgaben ja sehr ähnlich.

Answer 1

\(\text{Du hast ja } \underline{B} =(e_1,e_2) ,  \underline{C}:=(\binom{1}{2}, \binom{0}{-1}), \underline{D}:=(\binom{1}{1}, \binom{3}{2}).\)

Dann bestimmst du z.B  \(Mat^{\underline{B}}_{\underline{C}}(id_V)\)

Indem du die Bilder der Basisvektoren von \(  \underline{B} \) , die bei der

Abbildung id_V entstehen durch die Basis   \(  \underline{C} \) darstellst.

Du musst also a,b,c,d bestimmen mit

\(  id_V(e_1)=a\cdot  \binom{1}{2} + b \cdot \binom{0}{-1}  \)

und \(  id_V(e_2)=c\cdot \binom{1}{2} + d \cdot \binom{0}{-1}  \)

Dann ist

a  c
b  d

die gesuchte Matrix. Kurz geht das mittels Matrizenschreibweise

\(  \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}  =\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}\)

Da siehst du gleich:

\(Mat^{\underline{B}}_{\underline{C}}(id_V)  =  \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}^{-1}  =  \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \)

Comments

Erstmal vielen Dank für die schnelle & ausführliche Hilfe! Allerdings hätte ich doch noch eine Frage: Wie genau funktioniert das mit der Matrizenschreibweise? Habe jetzt etwas rumprobiert aber komme irgendwie nicht auf dein Ergebnis. Also wie kommst du genau auf das, was nach "mittels Matrizenschreibweise" steht? Den Anfang konnte ich gut nachvollziehen, aber ab dem Punkt nicht mehr.

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Bin jetzt etwas weiter und hätte als Lösung für die Matrix von B auf D: $$(\binom{4}{3} \binom {9}{7})$$ Stimmt das? Und wie geht es, wenn B unten steht?

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Da stimmt was nicht, du musst doch den Ansatz machen

\(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}  =\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\)

und da komme ich auf

\(Mat^{\underline{B}}_{\underline{D}}(id_V)  =  \begin{pmatrix}  1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}^{-1}  =  \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \)

Du kannst das auch leicht prüfen:

Denn es ist ja \( id_V \binom{x}{y}= \binom{x}{y} \)

Und \(  \binom{x}{y}  \) ist der Koordinatenvektor

von \(  \binom{x}{y} \) bzgl. der Basis \(  \underline{B}  \)

Und die Matrix \(Mat^{\underline{B}}_{\underline{D}}(id_V) \)

mal \(  \binom{x}{y} \) muss also den Koordinatenvektor des

Bildes bzgl. der Basis \( \underline{D}\) ergeben.

\(  \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \binom{x}{y} = \binom{-2x+3y}{x-y} \)  

Das sind also die Koordinaten des Bildes bzgl. \( \underline{D}\)

Also \((-2x+3y)\binom{1}{1}+(x-y) \binom{3}{2} = \binom{-2x+3y+3x-3y}{-2x+3y+2x-2y}= \binom{x}{y}\)

Das passt !