Ist f injektiv, surjektiv, bijektiv?

Question

Text erkannt:

Es sei \( f: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} \) die lineare Abbildung gegeben durch \( \left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right) \longmapsto\left(\begin{array}{c}x+2 y \\ x+y\end{array}\right) \cdot \) (Wir haben in Aufgabe 4 (d) Blatt 7 gezeigt, dass \( f \) linear ist.)
Wir betrachten den Untervektorraum \( U:=\left\{\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2} \mid x-y=0\right\} \) von \( \mathbb{R}^{2} \).
(a) Geben Sie eine Basis von \( U \) an.
(b) Ist \( f(U) \subset U \) ?
(c) Bestimmen Sie das Bild von \( f \) und ggf. den Kern von \( f \) sowie die Dimension des Kerns und die Dimension der Bildmenge.
(d) Ist \( f \) injektiv, surjektiv, bijektiv?

Aufgabe:

Comments

Welchen Teil der Aufgabe kannst du nicht?

Das Forum beantwortet Fragen,  Hier steht nur ne Aufgabe? Also frage gezielt , und nenn dien Überlegungen.

lul

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Hallo

war  leider falsch, drum entfernt,

lul

Answer 1

Es geht ja wohl um :  " Ist \( f \) injektiv, surjektiv, bijektiv?"

Der Kern besteht nur aus der 0 von \( \mathbb{R}^{2} \), also f injektiv.

Bild von f wird aufgespannt von \( \left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right) \quad und \quad \left(\begin{array}{c}2  \\ 1\end{array}\right) \cdot \)

Hat also dim=2 somit f surjektiv.  Insgesamt also bijektiv.