Bestimmen Sie eine gebrochen-rationale Funktion y=f(x) mit folgenden Eigenschaften.

Question

Hallo, während meiner Prüfungsvorbereitung komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter und bitte um die Lösung:

Aufg. 3-5: Konstruktion von gebrochen-rationalen Funktionen
Die Lösungen der folgenden Aufgaben sind nicht eindeutig.
3) Bestimmen Sie eine gebrochen-rationale Funktion \( y=f(x) \) mit den Eigenschaften i), ii), iii):
i) Die Funktion hat eine einfache Nullstellen bei \( x_{1}=-1 \) und eine doppelte Nullstelle bei \( \mathrm{x}_{2}=2 \).
ii) Die Funktion hat eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei \( x_{3}=-3 \) und eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei \( \mathrm{x}_{4}=1 \).
iii) \( f(0)=4 \)
Weitere Nullstellen und Pole liegen nicht vor.
Bestimmen sie eine Funktionsgleichung und skizzieren Sie den Funktionsverlauf.

4) Bestimmen Sie eine gebrochen-rationale Funktion \( y=f(x) \) mit den Eigenschaften i), ii), iii):
i) Die Funktion hat eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei \( \mathrm{x}_{1}=-2 \). Weitere Polstellen liegen nicht vor.
ii) Für \( x \rightarrow \infty \) strebt die Funktion gegen 10 .
iii) \( f(4)=-1 \)
Bestimmen Sie eine Funktionsgleichung.
5) Bestimmen Sie eine gebrochen-rationale Funktion \( y=f(x) \) mit den Eigenschaften:
Die Funktion hat die Gerade \( \mathrm{y}=2 \mathrm{x}+1 \) als Asymptote und besitzt eine Nullstelle bei \( \mathrm{x}_{1}=3 \).
(Es können weitere Nullstellen existieren.)
Bestimmen Sie eine Funktionsgleichung.

Vielen Dank im Voraus für die Hilfe.


Liebe Grüße

Sevi

Answer 1

3-5:  i) und ii) ergeben z.B.

\(  f(x)= \frac{a(x+1)(x-2)^2}{(x+3)(x-1)^2}   \)

mit \( f(0)=4 \) gibt das a=3 also

\(  f(x)= \frac{3(x+1)(x-2)^2}{(x+3)(x-1)^2}  \)

Sieht so aus ~plot~  3(x+1)(x-2)^2 / ( (x+3)(x-1)^2 ) ~plot~

Comments

Danke für die Lösung der dritten Aufgabe. Kannst du den Rechenweg für die vierte und fünfte Aufgabe auch angeben, weil ich bei denen immer noch Probleme habe.

Vielen Dank im Voraus.

Viele Grüße

Sevi

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Die Funktion hat eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei \( \mathrm{x}_{1}=-2 \). Weitere Polstellen liegen nicht vor.

Also im Nenner nur x+2

ii) Für \( x \rightarrow \infty \) strebt die Funktion gegen 10 .

Also Zähler auch vom Grad 1 aber mit einer 10 vor dem x.

\( f(x) = \frac{10x+a}{x+2} \)

iii) \( f(4)=-1 \) ==>  \( \frac{10*4+a}{4+2} = -1 \) ==>  a = -46

Die Funktion hat die Gerade \( \mathrm{y}=2 \mathrm{x}+1 \) als Asymptote

\( f(x) = 2x+1 +  Rest \)

Damit es gebr. rat. ist, kann z.B. der Rest sowas sein wie \( \frac{a}{x} \).

besitzt eine Nullstelle bei \( \mathrm{x}_{1}=3 \).

Also a=-21.

Answer 2

Bei (4)

$$ f(x) = \frac{10x-46}{x+2} $$

Bei (5)

$$ f(x) = \frac{(x-3)^2}{\frac{1}{2}x-\frac{13}{4}} $$