Beweise, dass e^2 > 7, 3 ist

Question

Aufgabe:

Beweise, dass e² > 7, 3 ist.

Problem/Ansatz:

Wollte es mit Hilfe der Taylorreihe von e^x lösen (x₀ = 0 oder 2 was macht mehr sinn?) , aber weiß leider nicht genau wie ich anfangen soll. Ich müsste ja so eine Reihe aufstellen, aber leider weiß ich nicht bis zur welcher Ordnung, wie geht man da vor? Oder ist mein Ansatz komplett quatsch?

Falls ich dann ja so eine Reihe aufgestellt habe, müsste ich ja nur noch zeigen das ich das neue Taylorpolynom nach 7,3 auflösen kann und dieses x für 7,3 dann kleiner 2 sein sollte oder?

Answer 1

Die Exponentialreihe liefert

\(e=\exp(1)\geq \sum_{k=0}^4\frac{1}{k!} =\frac{65}{24}\),

also \(e^2\geq (\frac{65}{24})^2\geq 7,3\).

Answer 2

Hallo :-)

Eine Möglichkeit wäre, sich die Reihendarsteung von \(e^x\) um \(0\) anzuschauen und genug Summanden zum Abschätzen zu nehmen. Durch Probieren bekommt man

$$e^2=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\cdot 2^k\geq \sum\limits_{k=0}^6 \frac{1}{k!}\cdot 2^k=\frac{331}{45}=\frac{7\cdot 45+16}{45}=7+\frac{16}{45}>7+\frac{15}{45}=7+\frac{1}{3}>7.3$$