Für \( i, j \in\{1, \ldots, n\} \) definieren wir die Matrizen \( E^{(i, j)} \in \mathrm{M}_{n \times n}(K) \) durch
\( E^{(i, j)}:=\left(e_{k, l}^{(i, j)}\right)_{\substack{1 \leq k \leq n \\ 1 \leq l \leq n}} \quad \text { mit } \quad e_{k, l}^{(i, j)}:=\left\{\begin{array}{ll} 1 & \text { falls } k=i \text { und } l=j \\ 0 & \text { sonst. } \end{array}\right. \)
Für \( i \neq j \) und \( \lambda \in K \backslash\{0\} \) definieren wir damit die Elementarmatrizen in \( \mathrm{M}_{n \times n}(K) \) durch
\( \begin{aligned} S^{(i, j)} & :=\mathbf{1}_{n}-E^{(i, i)}-E^{(j, j)}+E^{(i, j)}+E^{(j, i)} \\ A_{\lambda}^{(i, j)} & :=\mathbf{1}_{n}+\lambda \cdot E^{(i, j)} \\ M_{\lambda}^{(i)} & :=\mathbf{1}_{n}+(\lambda-1) \cdot E^{(i, i)} \end{aligned} \)
(a) Sei zunächst \( K=\mathbb{Q} \) und \( n=3 \). Definiere
\( B:=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}\right) \in \mathrm{M}_{3 \times 3}(\mathbb{Q}) \)
Geben Sie die Matrizen \( S^{(2,3)}, A_{5}^{(1,3)} \) und \( M_{4}^{(2)} \) an und berechnen Sie für jede dieser Matrizen das Ergebnis der Multiplikation von rechts mit \( B \).
zuerst was ist mit den S2,3) gemeint und könnte mir wer einen Ansatz zeigen. LG
