Bestimme die folgenden Grenzwerte und begründe die Antwort.

Question

Aufgabe:

a) Bestimme die folgenden Grenzwerte und begründe die Antwort.

Text erkannt:

(i) \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \sin \left(\frac{1}{x}\right) \)
(ii) \( \lim \limits_{x \rightarrow-\infty} \sin \left(\frac{1}{x}\right) \).

b) Sei g: R → R eine beschränkte Funktion. Zeige dass die Funktion f:R →R mit f(x) := xg(x) in a = 0 stetig steigt

Comments

stetig steigt

Liegt da ein Druckfehler vor?

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Zu b) kannst du hier schauen. Wurde dort beantwortet. Du meinst sicher "in a=0 stetig".

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Ja war mein Fehler.

Aber wie finde ich die Grenzwerte?

Bin bei der Aufgabe etwas verwirrt.

Answer 1

Sei \( g(x) = \Phi(x) - \Phi(-x) \) und \( \Phi(x) \) die HeavisdeFunktion, s. https://de.wikipedia.org/wiki/Heaviside-Funktion

dann ist \( x \cdot g(x) \) keine monoton steigende Funktion, sondern sieht so aus.

Answer 2

Hier die Entwirrung (hoffentlich):

Setze \(t= \frac 1x\), dann gilt

$$\lim_{x\to\infty}\sin \frac 1x = \lim_{t\to0^+}\sin t = 0$$

$$\lim_{x\to-\infty}\sin \frac 1x = \lim_{t\to0^-}\sin t = 0$$

Comments

Und woher weiß ich, dass der Grenzwert 0 ist

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Weil \(\sin t\) stetig ist und \(\sin 0 = 0\) ist.