Das Verhalten von \(f_n(x) = \frac 1{1+|x|^n}\) hängt offenbar davon ab, wie sich \(|x|^n\) verhält für \(n\to\infty\). Also liegt eine Fallunterscheidung nahe:
\(|x| < 1 \Rightarrow \lim_{n\to\infty}|x|^n =0 \Rightarrow \lim_{n\to\infty}f_n(x) = 1\)
\(|x| = 1 \Rightarrow \lim_{n\to\infty}|x|^n =1 \Rightarrow \lim_{n\to\infty}f_n(x) = \frac 12\)
\(|x| > 1 \Rightarrow \lim_{n\to\infty}|x|^n =\infty \Rightarrow \lim_{n\to\infty}f_n(x) = 0\)
Die Grenzfunktion ist also stetig für \(|x| <1\) und
\(|x| >1\).
Der Grenzwert einer gleichmäßig konvergenten Folge stetiger Funktionen ist wieder stetig. Da die Grenzfunktion im vorliegenden Fall nicht stetig ist, kann die Konvergenz nicht gleichmäßig sein.
