Hallo :-)
Ich führe das mal mit Grad 2 vor. Der Rest geht analog.
Erstmal die Ableitungen:
$$f(x)=\sqrt{x+2}\\f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+2}}\\f''(x)=-\dfrac{1}{4\left(x+2\right)^\frac{3}{2}}\\f'''(x)=\dfrac{3}{8\left(x+2\right)^\frac{5}{2}}$$
Die Entwicklungstelle eingesetzt ergibt:
$$f(0)=\sqrt{2} \text{ Die Stelle 0 ist hier etwas sinnlos, da die Wurzelfunktion ja angenähert werden soll...}\\f'(0)=\frac{1}{2\cdot \sqrt{2}}\\f''(0)=-\frac{1}{4\cdot 2^{\frac{3}{2}}}\\f'''(0)=\frac{1}{8\cdot 2^{\frac{5}{2}}}$$
Daraus stellt man das Taylorpolynom vom Grad 2 auf:
$$ T_{f,2}(x)=f(0)+f'(0)\cdot x +\frac{1}{2}\cdot f''(0)\cdot x^2=\sqrt{2}+\frac{1}{2\cdot \sqrt{2}}\cdot x-\frac{1}{8\cdot 2^{\frac{3}{2}}}\cdot x^2$$
Fehlerabschätzung, zb mit dem Lagrange Restglied:
$$ |R_2|=\left |\frac{1}{6}\cdot f'''(\xi)\cdot x^3\right|=\left |\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{8\cdot (\xi+2)^{\frac{5}{2}}}\cdot x^3\right|\stackrel{-\frac{1}{2}<x<\frac{1}{2}}{\leq}\left |\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{8\cdot (\xi+2)^{\frac{5}{2}}}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3\right|\\\leq \left |\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{8\cdot (-\frac{1}{2}+2)^{\frac{5}{2}}}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3\right|=\frac{1}{384}\cdot \frac{1}{\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{5}{2}}}\leq \frac{1}{384}\cdot \frac{1}{\left(\frac{3}{2}\right)^2}=\frac{1}{384}\cdot \frac{4}{9}=\frac{1}{96\cdot 9}=\frac{1}{864}<0.01 $$
