Meine Frage ist, wie kann man den arctan approximieren?

Question

Aufgabe:

\( \cos \left(\tan ^{-1}(1-\sqrt{3})\right)+\sin \left(\tan ^{-1}(1-\sqrt{3})\right) \)

Ich muss als Teil einer Aufgabe zeigen, dass der Ausdruck oben kleiner als 1ist.

Problem/Ansatz:

Meine Frage ist, wie kann man den arctan approximieren? Taschenrechner darf ich nicht verwenden. Ich bin auf die Formel

für |x| < 1

gestoßen würde aber gerne wissen, ob es eine andere Möglichkeit gibt die ich nicht kenne oder sehe.

Danke im voraus

Comments

ist doch trivial! Da \(1-\sqrt{3}\lt 0\) ist \(\arctan(1-\sqrt{3}) \lt 0\). Der Cosinus ist positiv und kleiner 1 und der Sinus ist negativ. Damit muss die Summe kleiner 1 sein.

Answer 1

\( 1-\sqrt{3} \) ist ein negativer Ausdruck. Ein Winkel φ mit \( tan φ=1-\sqrt{3} \) liegt also im 2. oder 4. Quadranten.

Einer der beiden Ausdrücke cos φ und sin φ ist somit positiv und einer negativ. Die Summe dieser beiden Ausdrücke ist damit garantiert kleiner als 1.

Comments

Finde dein Argument eleganter als meine Trigo-Formelei: +1.

Aber der \(\arctan\) liegt sowieso zwischen \(-\frac{\pi}2\) und \(\frac{\pi}2\). Also brauch man sich über den 2. Quadranten keine Gedanken zu machen.

Answer 2

Für \(|x| <\frac {\pi}2\) gilt

\(\cos x = \frac 1{\sqrt{1+\tan^2 x}}\)

\(\sin x = \frac {\tan x}{\sqrt{1+\tan^2 x}}\)

Nun gilt außerdem \(\tan (\arctan x) = x\). Also

$$\cos \left(\tan ^{-1}(1-\sqrt{3})\right)+\sin \left(\tan ^{-1}(1-\sqrt{3})\right) = \frac 1{\sqrt{1+(1-\sqrt 3)^2}} + \frac {1-\sqrt 3}{\sqrt{1+(1-\sqrt 3)^2}}$$

Der Nenner ist offenbar größer als 1 und die Zähler ergeben zusammen \(0< 2-\sqrt 3 < 1\). Daraus folgt die Behauptung.

Hier nochmal der Gegencheck per WolframAlpha.

Answer 3

Hallo

man weiss, tan(45°)=1 und tan(-45°)=-1

0>1-√3>-1 damit ist der sin <0 der cos >0 die Summe <1

ausserdem kannst du ja den Zusammenhang zwischen cos und tan benutzen cos(x)=1/√(1-tan^2(x))

Gruß lul