Zeigen Sie, dass { \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1\\0 …

Question

\( \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} \) Aufgabe:

Sei K ein Körper.

Zeigen Sie, dass {\( \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} \),\( \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \),\( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \),\( \begin{pmatrix} 1\\1\end{pmatrix} \)} genau dann ein Untervektorraum von K^2 ist wenn |K| = 2 gilt.

Hinweis:
Hierbei steht 1 für das Einselement und 0 für das Nullelement.

Problem/Ansatz:

Problematisch hierbei ist erstens, dass ich nicht mit den "Betragsstrichen" um K umzugehen weiß.
Falls damit die Dimension des Körpers gemeint ist, so ist klar, dass es sich hierbei um ein Zweidimensionales System halten muss, ich finde aber keine eindeutige angabe in der Literatur.

Des weiteren weiß ich nicht ob ich die Abgeschlossenheit bezüglich addition und oder multiplikation dadurch erzeugen darf, in dem ich die Funktion dieser Verknüpfungen selbst festlege.

Answer 1

|K| ist die Anzahl der Elemente von K.

Körper haben keine Dimension, Vektorräume haben eine Dimension.

Außerdem kann man aus der Anzahl der Komponenten nicht auf die Dimension schließen. Zum Beispiel ist \(\mathbb{R}\times\mathbb{R}\) ein eindimensionaler \(K\)-Vektorraum wenn man \(K\) geeignet wählt.

Die Verknüpfungen in K darfst du nicht selbst festlegen. Die Verknüpfungen in K² ergeben sich aus den Verknüpfungen in K. Die Verknüpfungen in \(\left\{ \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1\\1\end{pmatrix}\right\} \) ergeben sich als Einschränkungen der Verknüpfungen von K².

Comments

Wie kann ich mir vorstellen, dass mein Körper nur 2 Elemente hat?

Ich würde für die Begründung der Lösung nun damit Anfangen:
1. Nullelemet ist Teil der Menge -> Stimmt offensichtlich
2. Ich prüfe ob diese Menge geschlossen gegenüber der Addition ist. -> Ist meiner Meinung nach nicht der Fall. Da ich mit der Addtion von 2 Einselementen über die Menge hinausrage.
3. Ich prüfe die Geschlossenheit bezüglich des Skalarproduktes. -> Das Ergebnis ist nun ein Skalar uns somit auch nicht mehr im zu betrachteten bereich.

Ich bin also nicht in der Lage die Aufgabe zu lösen.

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Wie kann ich mir vorstellen, dass mein Körper nur 2 Elemente hat?

Folgende Verknüpfungstafeln:

\(\mathbf \oplus\)	\(\mathbf 0\)	\(\mathbf 1\)
\(\mathbf 0\)	\(0\)	\(1\)
\(\mathbf 1\)	\(1\)	\(0\)

\(\mathbf \odot\)	\(\mathbf 0\)	\(\mathbf 1\)
\(\mathbf 0\)	\(0\)	\(0\)
\(\mathbf 1\)	\(0\)	\(1\)

Letztendlich liefern \(\mathbf \oplus\) und \(\mathbf \odot\) den Rest bei ganzzahliger Division der Summe beziehungsweise des Produktes natürlicher Zahlen durch \(p=2\), also zum Beispiel

        \(a\oplus b \coloneqq (a+b) \operatorname{ mod } 2\).

Rechne nach, dass alle Körperaxiome erfüllt sind. Das ergibt auch dann einen Körper, wenn \(p\) irgendeine andere Primzahl ist. Dann hast du einen Körper mit \(p\) Elementen.

Zeigen Sie, dass {\( \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} \),\( \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \),\( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \),\( \begin{pmatrix} 1\\1\end{pmatrix} \)} genau dann ein Untervektorraum von K^2 ist wenn |K| = 2 gilt.

Solche Äquivalenzen ("genau dann wenn") werden üblicherweise bewiesen, indem die beiden Richtungen getrennt werden:

• "⇒" Wenn K ein Körper mit zwei Elementen ist, dann ist

           \(\left\{ \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1\\1\end{pmatrix}\right\} \)

  ein Untervektorraum von K².
• "⇐" Wenn

           \(\left\{ \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1\\1\end{pmatrix}\right\} \)

  ein Untervektorraum von K² ist, dann hat K genau zwei Elemente.
  

Der Grund für eine solche Trennung ist, dass oft die eine Richtungen einfach und die andere schwierig ist.

Ich würde für die Begründung der Lösung nun damit Anfangen:

Es ist nicht ersichtlich, um welche Richtung es geht.