Zeigen Sie, dass die Gleichung ln(x)=x^2-2 eine Lösung in dem Intervall [1, 2] besitzt.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Gleichung ln(x)=x^2-2 eine Lösung in dem Intervall [1, 2] besitzt.

Problem/Ansatz:

Ich habe bereits wie folgt umgeformt:

e^{ln(x)}=e^{x^2-2}

x=e^{x^2-2}

Weiß aber nicht, wie ich weiter machen soll. Ich könnte grafisch argumentieren, aber ich denke nicht, dass das reichen würde. Hat jemand vielleicht eine Idee?

Answer 1

\(f(x) = x^2 - 2 - \ln x\).

Finde ein \(x_0\in [1,2]\) mit \(f(x_0) < 0\)

Finde ein \(x_1\in [1,2]\) mit \(f(x_1) > 0\)

Laut Zwischenwertsatz gibt es dann ein \(x_3\in [1,2]\) mit \(f(x_3) = 0\)

Answer 2

LN(x) = x^2 - 2 --> f(x) = x^2 - 2 - LN(x) = 0

f(x) = x^2 - 2 - LN(x)

f(1) = -1

f(2) = 1.306852819

f(x) ist über dem Intervall [1 ; 2] stetig und hat dementsprechend in dem Intervall mind. eine Nullstelle.