Beweisen Sie dass T linear ist wenn A=b=0

Question

Text erkannt:

Seien \( a, b \in \mathbb{R} \) und \( T_{a, b}: \mathcal{P}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) definiert durch
\( \begin{array}{l} T_{a, b}(p)= \\ \left(3 p(4)+5 p^{\prime}(6)+a p(1) p(2), \frac{b \cos (p(2))}{\pi}\right) \end{array} \)
Beweisen Sie, dass \( T_{a, b} \) linear ist genau dann, wenn \( a=b=0 \).

Könnte mir jemand bei dieser Aufgabe helfen bitte?

Answer 1

Tipp: um zu zeigen, dass \(T_{a,b}\text{ linear }\Rightarrow a=b=0\) gilt.

setze einmal \(p(x)=0 \; \forall x\) (Nullpolynom), dann bekommst du \(b=0\)

und einmal \(p(x)=x\; \forall x\) und betrachte \(T_{a,0}(p+(-p))\), dann folgt \(a=0\).