Eigenschaften bei Inversion am Einheitskreis

Question

Aufgabe:

Die Inversion am Einheitskreis in R² ist definiert durch die Abbildung
h: R² \ {0} → R² \ {0}

v → v/|v|²

Zeigen Sie:

a) Die Abbildung vertauscht Inneres und Äußeres des Einheitskreises, die Punkte auf dem Rand
sind Fixpunkte.

b) Es gilt h ◦ h = id

c) Winkel bleiben unter h erhalten: ∠(u, v) = ∠(h(u), h(v))

Problem/Ansatz:

Ich bin bei der Aufgabe wirklich total aufgeschmissen, wie ich auch nur eine der Teilaufgaben zeige, wenn mir jemand dabei in irgendeiner Weise behilflich sein könnte, würde ich das sehr schätzen.

Comments

es ist nicht wirklich die Antwort auf Deine Frage. Aber vielleicht kannst Du Dir so die Inversion am (Einheits-)Kreis besser vorstellen:

Die Punkte \(V\) und \(W\) und weitere Punkte, die auf der Strecke \(\overline{VW}\) liegen, werden am Kreis invertiert. Verschiebe \(V\) und \(W\) mit der Maus. Verschiebe sie auch in den Kreis hinein.

Answer 1

(a)

Sei \( x, y \) mit \( x^2 + y^2 <1 \) gegeben, dann liegt der Punkt \( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \) im inneren des Einheitskreises.

Die Abbildung \( h(v) \) bildet diesen Punkt auf $$\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \frac{ 1 } { x^2 +y^2 } $$ ab. Der Betrag von diesem Ausdruck ist

$$ \frac{x^2 +y^2} {(x^2+y^2)^2} = \frac{1}{x^2+y^2} > 1 $$ Also wird durch diese Abbildung das innere des Einheitskreises auf das Äußere des Einheitskreises abgebildet.

Man sieht auch sofort, dass der Rand des Kreises wieder auf den Rand abgebildet wird, da ja dann \( x^2+y^2 =1 \) gilt.

(b)

$$ (h \circ h)(v) = h \left( \frac{v}{|v|^2} \right) = \frac{ \frac{v}{|v|^2} }{ \frac{ |v|^2 }{ |v|^4 } } = v $$

(c)

\( \angle \ \frac { \left( \frac{u}{|u|^2} , \frac{v}{|v|^2} \right) } { \left| \frac{u}{|u|^2} \right|^2  \left| \frac{v}{|v|^2} \right| } = \angle \ (u,v) \)

Answer 2

a) \(v=(x,y)\in K_1 \rightarrow x^2+y^2 \leq 1\Rightarrow h(v)=\frac{v}{|v^2|}=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\geq 1\)

b) \(h(h(v))=h(\frac{v}{|v^2|})=\frac{\frac{v}{|v^2|}}{\frac{v^2}{|v^4|}}=v\)