Wie lautet die Teststatistik und welchen Wert hat sie?

Question

Aufgabe:

60 Karten liegen verdeckt auf dem Tisch. 30 rote und 30 blaue. Ein Magier behauptet, er könne für jede Karte vor dem aufdecken sagen, ob sie blau oder rot ist. er weiß nicht, wie viele Karten rot und blau sind. Die KArten werden nacheinander aufgedeckt. Er liegt von den 60 mal 35 mal richtig.

Wie lautet die Teststatistik und welchen Wert hat sie? Welche Verteilung liegt vor?

Ansatz:

Ich hätte eine Normalverteilung angenommen. Ist wie ein Münzwurf (50% blau, 50% rot). Das der Magier nicht weiß wie viele Karten blau und rot sind, spielt keine Rolle. Ich würde einen z-Test machen mit der Teststatistik

z = (x-mu)/sigma

Also x = 35, Erwartungswert mu = 30 und sigma = 1/2*sqrt(60)

z = (35-30)/(0.5*sqrt(60))

Stimmt das so?

Comments

Also ich hätte auf Anhieb gesagt, dass du einen Binomialtest durchführst mit p=1/2. Zumal weiß ich auch nicht, selbst wenn dh von normalverteilung ausgehst, ob dein Voraussetzungen für den z-Test erfüllt sind...

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Wenn ich das Ausrechne, liegt der p Wert bei 0,1225 bei einem Signifikanzniveau von 5% würde das zu keiner Verwerfung führen und damit lässt sich nicht bestätigen, dass Hellseherische Fähigkeiten besitzt. Bei 37 richtigen Karten schon. Also die Abweichung ist nicht sehr groß.

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Wäre es vielleicht sogar sinnvoller, eine hypergeometrische Verteilung anzunehmen? Man nimmt ja quasi eine Karte ohne zurücklegen heraus beim aufdecken der Karte oder? Könnte man den Fischer Exakt t Test anwenden?

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Oder geht das nicht, weil der Magier vorher nicht weiß wie viele von jeden Karten vorhanden sind?

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Also hypergeometrische Verteilung ergibt doch wenig Sinn... Und Fischers exakter testest ja bei Unverbundenen Stichproben, du hast aber nur eine Stichprobe...

Answer 1

Ja du hast meines Wissens alles richtig gemacht. Weiter so :)

Answer 2

Die Teststatistik, die in diesem Fall verwendet wird, ist die Anzahl der richtig vorhergesagten Karten, die von den 60 Karten aufgedeckt wurden. In diesem Fall hat der Magier 35 der 60 Karten richtig vorhergesagt, und seine Teststatistik ist 35.

Die Verteilung, die in diesem Fall vorliegt, ist die Binomialverteilung. Die Binomialverteilung beschreibt die Anzahl von Erfolgen in n unabhängigen Bernoulli-Versuchen, bei denen jeder Versuch eine Erfolgswahrscheinlichkeit von p hat. In diesem Fall entspricht ein Erfolg der richtigen Vorhersage einer Karte, und jeder Versuch ist unabhängig von den anderen Versuchen, da die Karten verdeckt aufgedeckt werden und der Magier keine Kenntnis von ihrer Anordnung hat.

Die Erfolgswahrscheinlichkeit p ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Karte richtig vorhergesagt wird. Da der Magier nicht weiß, wie viele Karten rot und blau sind, ist die Erfolgswahrscheinlichkeit 1/2.

So die Teststatistik ist 35 und basiert auf der Binomialverteilung mit n = 60 und p =1/2.