Lineare Unabhängigkeit durch eindeutige Darstellung

Question

Aufgabe:

Seien V ein Vektorraum über K und B=(v1,v2,..vn) eine endliche Familie von Elementen aus V. Zeigen sie, dass B genau dann linear unabhängig ist, wenn es einen Vektor v€V gibt, der eine eindeutige Darstellung durch Elemente aus B besitzt.

Problem/Ansatz:

Ich habe leider gar keine Ahnung wie ich das beweisen soll, hat eventuell jemand eine Idee?

Comments

Wie ist denn lineare Unabhängigkeit definiert?

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(ai)^n mit i=1 ist dann linear unabhängig, wenn gilt; (∑λk*ak=0 -> λ1,…λn=0)

So steht es in der Definition unseres Skriptums

Answer 1

Dann arbeiten wir mit dieser Definition:

1. Wenn \((v_1, \ldots,v_n)\) linear unabhängig ist, dann gibt es einen solchen Vektor v, nämlich zum Beispiel \(v_1\). Es gilt \(v_1=1\cdot v_1\) und wenn es eine zweite Darstellung gäbe, liefert das einen Widerspruch:

$$v_1=\sum_{i=1 }^ns_iv_i \Rightarrow 0=(s_1-1)v_i+\sum_{i=2 }^ns_iv_i$$

Also folgt \(s_1=1\) und (s_i=0\) sonst. D.h. die Darstellung ist eindeutig.

2. Sei nun \(v=\sum_{i=1 }^nt_iv_i\) eine Vektor wie in der Aufgabe angegeben. Dann folgt dass \((v_i)_i\) linear unabhängig ist:

Wenn

$$0=\sum_{i=1 }^ns_iv_i \Rightarrow v=\sum_{i=1 }^n(s_i+t_i)v_i$$

Wegen der Eindeutigkeit der Darstellung für v folgt für alle i: \(t_i=s_i+t_i \Rightarrow s_i=0\)

Comments

Vielen Dank! Jetzt verstehe ich auch was genau gemeint ist!:)