Diophantische Gleichung und euklidischer Algorithmus

Question

Aufgabe:

Die Diophantische Gleichung 16x+18y=30 hat:

-eine Lösung

-keine Lösung

-unendlich viele Lösungen

-höchstens 30 Lösungen

-nichts davon

Problem/Ansatz:

Der größte gemeinsame Teiler von (16,18)=2 und 2|30, heißt es gibt auf jeden Fall eine Lösung.

Jetzt wollte ich mit dem erweiterten Euklidischen Algorithmus machen, komme da aber nicht ganz weiter.

Euklidischer Algorithmus:

(18,16)=2

18=16*1+2

16=2*8+0

Für den erweiterten komme ich nicht weiter

Comments

Hab es mal versucht und habe x=3 und y=-6 raus, kann ja nicht sein?

Answer 1

x=3, y=-1 ist garantiert eine Lösung.

Answer 2

\(16a+18b=2\) hat offensichtlich die Lösung \(a=-1, b=1\), damit hat

\(16x+18y=30=2\cdot 15\) die Lösung \(x=-15, y=15\).

Answer 3

Es gibt unendlich viele Lösungen.

Comments

Das ist schlichtweg falsch, da eine diophantische Gleichung nur ganzzahlige Lösungen besitzt, wovon es sicherlich nicht unendlich viele gibt.