Aufgabe Segelflug:
Ein Segelflugzeug wird in 100 m) Höhe ausgeklinkt. Seine vertikale Steig- bzw. Sinkgeschwindigkeit in den ersten zehn Minuten nach dem Ausklinken wird durch die Funktion \( v(t)=100-100 t \cdot e^{-0,5(t-1)} \) beschrieben (t: Zeit in Minuten, \( \mathrm{v}(\mathrm{t}): \) Steiggeschwindigkeit in Metern/min).
a) Begründen Sie, dass das Flugzeug in der ersten Minute steigt, in den anschließenden 2,51 Minuten sinkt und danach wieder steigt.
b) Wann ist die Sinkgeschwindigkeit am größten? Zeichnen Sie den Graphen von \( \mathrm{v} \).
c) Weisen Sie nach, dass \( \mathrm{W}(\mathrm{t})=(2 \mathrm{t}+4) \mathrm{e}^{-0,5(\mathrm{t}-1)} \)
eine Stammfunktion von \( \mathrm{w}(\mathrm{t})=-\mathrm{te}^{-0,5(t-1)} \) ist. Leiten Sie hieraus die Funktion \( \mathrm{h}(\mathrm{t}) \) her, welche angibt, in welcher Höhe sich das Flugzeug zum Zeitpunkt \( t \) nach dem Ausklinken befindet \( (0 \leq t \leq 10) \). Welche Höhe erreicht es vor dem Absinken? Welches ist seine geringste Höhe nach der Sinkphase? In welcher Höhe fliegt es 10 Minuten nach dem Ausklinken?
Problem/Ansatz:
Ich habe die Teile a) und b) bereits gelöst und kann auch bei c) beweisen, dass W (t) eine Stammfunktion von w (t) ist. Leider weiß ich aber nicht, wie ich daraus die Funktion h(t) herleiten kann, welche angibt, in welcher Höhe sich das Flugzeug zum Zeitpunkt t befindet. Wie berücksichtigt man, dass bei t=0 die Höhe 100m beträgt?
