Aufgabe:
Die Rekursion \( a_n = a_{n-1} \cdot \dfrac{2n-1}{2(n+1)} \) mit \( a_0= \dfrac{1 }{2} \) soll mit Hilfe der erzeugenden Funktion \( f=\sum\limits_{k=0}^{\infty} a_n \cdot x^{n }\) in eine explizite Form für \( a_n \) gebracht werden.
Problem/Ansatz:
Ich setze zunächst die Rekursion in die formale Potenzreihe ein:
\( f=\sum\limits_{k=0}^{\infty} a_n \cdot x^{n } = \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_{n-1} \cdot \dfrac{2n-1}{2(n+1)} \cdot x^{n } \)
Dann führe ich eine Indexverschiebung durch:
\( f=\sum\limits_{k=0}^{\infty} a_{n} \cdot \dfrac{2(n+1)-1}{2(n+1+1)} \cdot x^{n+1 }=\sum\limits_{k=0}^{\infty} a_{n} \cdot \dfrac{2n+1}{(n+2)} \cdot x^{n+1 }\)
Durch Ausklammern von x erhält man:
\( f= x \cdot \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_{n} \cdot \dfrac{2n+1}{(n+2)} \cdot x^{n }\)
Den Term kann man noch in zwei Summanden aufteilen:
\( f= x \cdot \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_{n} \cdot \dfrac{2n}{(n+2)} \cdot x^{n } + x \cdot \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_{n} \cdot \dfrac{1}{(n+2)} \cdot x^{n } \)
Wie mache ich jetzt weiter? Was ist mit dem Anfangswert \( a_0= \dfrac{1 }{2} \) ?
Normalerweise ergibt sich bei den "klassischen" Fällen meist irgendwo eine eine Beziehung z.B. von der Art:
\( x \cdot \sum\limits_{k=0}^{\infty} (n+1) \cdot x^{n } = \dfrac{x}{(1-x^{2})} \)
Damit kann man dann gezielt weiter rechnen und die Funktion f ermitteln.
Gibt es hier vielleicht eine ähnliche Möglichkeit?
