Ist f stetig und differenzierbar in 0?

Question

Aufgabe:

Sei f: [0,∞) → R die Funktion gegeben durch

Text erkannt:

\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{\sin (x)} & , \quad x>0 \\ a & , \quad x=0\end{array}\right. \)

Wobei a element R. Bestimme a, so, dass f stetig in 0 ist. Ist f dann auch differenzierbar in 0?

Answer 1

\(x^{sin(x)}= e^{ln(x)\cdot sin(x)}\)

und für x gegen 0 ist der Grenzwert von \(ln(x)\cdot sin(x)\)

vom Typ -∞ * 0 . Um d'Hospital anwenden zu können betrachte

\(ln(x)\cdot sin(x)  = \frac{ln(x)}{\frac{1}{sin(x)}}\) also Typ -∞ : +∞ .

Für d'Hospital betrachte dazu den Quotient der Ableitungen:

 \(\frac{\frac{1}{x}}{\frac{-cos(x)}{sin^2(x)}}=\frac{sin^2(x)}{-x\cdot cos(x)}=\frac{sin(x)}{x}\cdot \frac{sin(x)}{-cos(x)}\)

Der 1, Bruch geht gegen 1, der zweite gegen 0, also Grenzwert 0.

Damit ist \(  a=e^0 = 1 \), dann ist f bei 0 stetig.