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Aufgabe:

Sei f: [0,∞) → R die Funktion gegeben durch

Screenshot_20230119_154427_Word.jpg

Text erkannt:

f(x)={xsin(x),x>0a,x=0 f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{\sin (x)} & , \quad x>0 \\ a & , \quad x=0\end{array}\right.

Wobei a element R. Bestimme a, so, dass f stetig in 0 ist. Ist f dann auch differenzierbar in 0?

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xsin(x)=eln(x)sin(x)x^{sin(x)}= e^{ln(x)\cdot sin(x)}

und für x gegen 0 ist der Grenzwert von ln(x)sin(x)ln(x)\cdot sin(x)

vom Typ -∞ * 0 . Um d'Hospital anwenden zu können betrachte

ln(x)sin(x)=ln(x)1sin(x)ln(x)\cdot sin(x) = \frac{ln(x)}{\frac{1}{sin(x)}} also Typ -∞ : +∞ .

Für d'Hospital betrachte dazu den Quotient der Ableitungen:

 1xcos(x)sin2(x)=sin2(x)xcos(x)=sin(x)xsin(x)cos(x)\frac{\frac{1}{x}}{\frac{-cos(x)}{sin^2(x)}}=\frac{sin^2(x)}{-x\cdot cos(x)}=\frac{sin(x)}{x}\cdot \frac{sin(x)}{-cos(x)}

Der 1, Bruch geht gegen 1, der zweite gegen 0, also Grenzwert 0.

Damit ist a=e0=1 a=e^0 = 1 , dann ist f bei 0 stetig.

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