xsin(x)=eln(x)⋅sin(x)
und für x gegen 0 ist der Grenzwert von ln(x)⋅sin(x)
vom Typ -∞ * 0 . Um d'Hospital anwenden zu können betrachte
ln(x)⋅sin(x)=sin(x)1ln(x) also Typ -∞ : +∞ .
Für d'Hospital betrachte dazu den Quotient der Ableitungen:
sin2(x)−cos(x)x1=−x⋅cos(x)sin2(x)=xsin(x)⋅−cos(x)sin(x)
Der 1, Bruch geht gegen 1, der zweite gegen 0, also Grenzwert 0.
Damit ist a=e0=1, dann ist f bei 0 stetig.