Wieso ist U2 kein Komplement von U1

Question

Sei V der Vektorraum aller Polynomfunktionen des R^R (äber dem Körper
R). Für alle i ∈N bezeichne f_i jene Funktion aus V , welche durch
x ↦ x_i definiert ist. Sei n ≥3, sei U1 der Unterraum von V , welcher
genau die Polynomfunktionen vom Grad ≤n enthält, sei U2 := [R^R\
U1], und sei U3 := [{f_j | j > n}].
(A) U2 ist ein Komplement von U1 in V . Falsch

Wieso ist A falsch, U2 ist ja der komplette R^R ohne U1 (also 1, 2 ,3 gradigen) und wenn man diese zusammenfasst hat man ja den kompletten R^R

Comments

Die Komplement-Begriffe aus der Mengenlehre bzw. aus der Theorie der Vektorräume unterscheiden sich.

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Aber mit diesen Unterräumen spannt man den kompletten R^R ja auf

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diesen Unterräumen

hier liegt dein Denkfehler

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Was ist daran denn jetzt genau falsch?

Answer 1

Bei komplementären Unterräumen muss der

Durchschnitt immer der 0-Vektor sein.

Der ist aber bei U2 nicht dabei, U2 ist also gar kein

Unterraum.