Aufgaben zu allgemeinem Binomialkoeffizienten

Question

Aufgabe:

Für s ∈ ℝ und n ∈ ℕ definieren wir

\(\left(\begin{array}{l} s \\ n \end{array}\right):=\frac{s \cdot(s-1) \cdots(s-n+1)}{n !} \text { und }\left(\begin{array}{l} s \\ 0 \end{array}\right):=1 \text {. } \)
\( \left(\begin{array}{l}s \\ n\end{array}\right) \) nennt man die allgemeinen Binomialkoeffizienten. Zeigen Sie:
(a) \( \left(\begin{array}{l}s \\ n\end{array}\right)=0 \) genau dann, wenn \( s \in \mathbb{N}_{0} \) und \( n>s \).
(b) Für \( s \notin \mathbb{N}_{0} \) gilt: Der Konvergenzradius der Potenzreihe \( f(x):=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\left(\begin{array}{l}s \\ n\end{array}\right) x^{n} \) ist \( R=1 \).
(c) \( \left(\begin{array}{l}s \\ n\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}s \\ n-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}s+1 \\ n\end{array}\right) \) für alle \( n \in \mathbb{N} \).
(d) Für alle \( x \in(-1,1) \) gilt
\( (1+x)^{s}=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\left(\begin{array}{l} s \\ n \end{array}\right) x^{n} . \)
Anleitung: Zeigen Sie, dass \( (1+x) f^{\prime}(x)=s f(x) \) auf \( (-1,1) \), und folgern Sie, dass die Funktion \( g(x):=f(x)(1+x)^{-s} \) konstant gleich 1 ist.

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider überhaupt nicht, wie ich mit diesem allgemeinen Binomialkoeffizienten umgehen soll

Answer 1

zu a) Wenn (s über n) den Wert 0 annehmen sollte, muss oben im Zähler einer der Faktoren

s, (s-1), (s-2),...,(s-n)

den Wert  0 annehmen. Das geht schon mal nicht, wenn

*  s nicht ganzzahlig ist und die nachfolgenden Faktoren dann ebenfalls nicht

* alle Faktoren einschließlich des letzten und kleinsten Faktors (s-n) größer als 0 sind.

Comments

Oh okay das ergibt Sinn.

Weißt du vielleicht, wie man b lösen kann? Konvergenzradius ist zwar kein Fremdwort für mich, aber ich weiß nicht, wie man das mit dieser Form anwenden kann.

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Da gab es doch für den Konvergenzradius so eine Formel mit dem Quotienten ...

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Ja, die kenne ich, aber muss ich die dafür nicht in eine geeignete Form bringen? Diese unbekannt vielen Faktoren im Zähler werfen bei mir Fragen auf..

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Diese unbekannt vielen Faktoren im Zähler werfen bei mir Fragen auf..

Ich verstehe dein Problem nicht.

Du wirst doch wohl noch \(\left(\begin{array}{l} s \\ n \end{array}\right): \left(\begin{array}{l} s \\ n+1 \end{array}\right)\) hinschreiben können, wenn ein paar Zeilen weiter oben steht, dass \(\left(\begin{array}{l} s \\ n \end{array}\right)\) als \(\frac{s \cdot(s-1) \cdots(s-n+1)}{n !}  \) definiert ist

(und \(\left(\begin{array}{l} s \\ n+1 \end{array}\right)\)demzufolge \(\frac{s \cdot(s-1) \cdots(s-n+1)\cdot(s-(n+1)+1)}{(n+1) !}  \) ist).

Wie man einen Bruch durch einen anderen Bruch dividiert weißt du seit Klasse 6. Seit dieser Zeit weißt du auch, dass Faktoren, die sowohl im Zähler als auch im Nenner stehen, gekürzt werden können.

Und irgendwie sollte es auch möglich sein, den Faktor (s-(n+1)+1) etwas einfacher zu schreiben.

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Hi abakus,

ich hab mir die Aufgabe heute nochmal angeguckt und dabei ist mir aufgefallen, wie dumm ich mich gestern angestellt habe... war doch einfacher als erwartet :D

Danke für die Hilfe