x^2+x+1=0 , A=x^2011+x^2012 ⇒A=?

Question

Aufgabe:

x²+x+1=0

A=x²⁰¹¹+x²⁰¹²   ⇒A=?

Problem/Ansatz:

Moin ich hab ein problem mit folgender Aufgabe

mein Ansatz wäre jetzt: x2+x+1=0 ⇒ x=-x²-1 und das dann in A=x²⁰¹¹+x²⁰¹²  einsetzen, aber da komme ich dann auch nich viel weiter

Comments

Gibt es die Aufgabe auch im Original-Text - so ergibt sie keinen Sinn!

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- so ergibt sie keinen Sinn!

Ich denke schon.

Answer 1

x²+x+1=0

ist eine quadratischen Gleichung, die im Reellen gar keine Lösung hat.

Bestmme mit der pq-Formel die komplexe(n) Lösung(en) und wandle sie in Polarform um. Dann kannst du problemlos die 2011. und 2012. Potenz bilden.

Answer 2

Du brauchst keine pq-Formel und auch keine Polarform. Aus x² + x + 1 = 0 folgt
(1)  x² = - x - 1
(2)  x³ + x² + x = 0.
Daraus folgt x³ = 1.

Answer 3

x²+x+1=0

Das ist eine quadratische Gleichung. Du solltest

• quadratische Gleichungen von linearen GLeichungen unterscheiden können und
  
• wissen dass man quadratische Gleichungen mit der pq-Formel lösen kann.
  

Answer 4

x^2 + x + 1 = 0 oder x^2 + x = -1 --> x = - 1/2 ± √3/2·i = 1·e^{i·(± 60°)}

Berechne jetzt

A = x^2012 + x^2011 = x^2010·(x^2 + x) = x^2010·(- 1) = - 1

Merke, dass 2010 ein Vielfaches von 6 ist.

Answer 5

\(x\) ist eine 3-te Einheitswurzel; denn

\(x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0\), also \(x^3=1\).

Also hat man

\(x^{2011}+x^{2012}=x^{2010}(x+x^2)=(x^3)^{670}(-1)=1^{670}(-1)=-1\).