Für welche x ∈ ℝ konvergieren die folgenden Potenzreihen?

Question

Für welche $x \in \mathbb{R}$ konvergieren die folgenden Potenzreihen?

(i) $\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n) !} x^{n}$
(ii) $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}(2 n-1)}(x-1)^{n}$
(iii) $\sum \limits_{n=2}^{\infty} 3^{n-2}(x-2)^{n-2}$
(iv) $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{3^{2 n}}{n !}\left(\frac{x}{3}-3\right)^{n}$

Hallo zusammen, ich habe hier Probleme genau herauszufinden für welche x diese Reihen konvergieren, müsste ich erstmal den Konvergenzradius ausrechnen um das zu Untersuchen, wenn ja, wie genau? Ich habe Probleme damit die Summe so umzuschreiben, dass ich sie in das Quotienten/Wurzelkriterium einsetzen kann um den Konvergenzradius zu berechnen.

Answer 1

z.B. (i)  Betrachte $\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|} = \frac{ \frac{1}{(2n)!} }{ \frac{1}{(2n+2)!} } = \frac{(2n+2)!}{(2n)!} = (2n+2)(2n+1)$

Das hat für n gegen unendlich den Grenzwert +∞. Also konvergiert die Reihe auf ganz ℝ.

Bei (ii) etwa so:

$\frac{\frac{1}{2^{n}(2 n-1)}}{\frac{1}{2^{n+1}(2 n+1)}} = \frac{{2^{n+1}(2 n+1)}}{{2^{n}(2 n-1)}} = \frac{{2(2 n+1)}}{{(2 n-1)}} = \frac{{4 n+2}}{{2 n-1}}$

also Grenzwert 2. ==>  Konv.rad=2.

Dann noch die Randpunkte untersuchen , nämlich -1 und 3 .

Bei -1 hast du  $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}(2 n-1)}(-2)^{n}= \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2 n-1}$.

Konvergiert nach Leibniz.

Bei 3 hast du $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}(2 n-1)}2^{n}= \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n-1}$.

Angenommen das konvergiert auch, dann hättest du

$=2 \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n-0,5}$

Nun ist aber für alle n $\frac{1}{n-0,5} \gt \frac{1}{n}$

Somit ist die harmonische Reihe eine divergente Minorante.

Für 3 konvergiert deine Reihe also nicht.

Comments

Ich verstehe, vielen Dank! Bei der (iii) verstehe ich nun nicht wie ich das umformen soll?

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$\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|} = \frac{ 3^{n-2}}{ 3^{n+1-2} } = ?$

Da lässt sich doch was kürzen !

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oh Gott, ich dachte ich dürfte a_n nicht direkt so nehmen, dann ist der Konvergenzradius 1/3 richtig?

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und die beiden Randpunkte wären dann 5/3 und 7/3 wo ich nun weiter untersuchen müsste, korrekt?

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ist es dann für beide Divergent? Da ich jeweil in der summe (-1)ⁿ und 1ⁿ habe

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und (iv) wieder Konvergent auf ganz R, da bin ich mir aber nicht sicher.

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dann ist der Konvergenzradius 1/3 richtig? ✓

5/3 und 7/3 wo ich nun weiter untersuchen müsste, korrekt? ✓

ist es dann für beide Divergent? Ja!

und (iv) wieder Konvergent auf ganz R ✓

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Perfekt, ich bedanke mich herzlich, vielen Dank!

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Lässt sich bei (i) nach dem 2. Gleichheitszeichen nicht auch die Fakultät kürzen ? S.d. man nur 2n+2 rasubekommt ?