Suche Grenzwert zu einer Kombination aus ln und Fakultät.

Question

Aufgabe:

Suche Grenzwert zu einer Kombination aus ln und Fakultät.

Problem/Ansatz:

Ich möchte zeigen, dass $$\lim_{m\to \infty} \frac{\ln(m!)}{m \cdot \ln m} =1$$.

Ich habe die Fakultät bereits in eine Reihe umgeformt $$\lim_{m\to\infty} \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\frac{\ln i}{\ln m}$$ und es ist klar, dass diese Reihe nach oben durch 1 beschränkt ist.

Hat jemand eine Idee, wie ich zeige, dass 1 tatsächlich der Grenzwert ist? Danke!

Answer 1

Du kannst die Summe nach unten durch ein Integral abschätzen:

\(\sum_{i=1}^{m}\ln i = \sum_{\color{blue}{i=2}}^{m}\ln i \geq \sum_{i=2}^{m}\int_{i-1}^i \ln x \,dx =\int_1^m\ln x \; dx\)

Nun ist

\(\int_1^m\ln x \; dx = \left. x(\ln x - 1) \right|_1^m = m(\ln m -1) + 1\)

Damit erhältst du dass gewünschte Ergebnis:

\(\frac{1}{m\ln m}\sum_{i=1}^{m}\ln i \geq \frac{\ln m -1}{\ln m} + \frac{1}{m\ln m} \stackrel{m\to\infty}{\longrightarrow}1\)

Comments

Vielen lieben DANK!