Herleitung der Formel -b/(2a) (Scheitelpunkt von Quadr. Funktionen)

Question

Aufgabe:

Herleitung der Formel -b/(2a) zum Berechnen des Scheitelpunktes/Extremstelle von Quadratischen Funktionen
Problem/Ansatz:

Ich gehe in die 9 Klasse eines Gymnasiums und interessiere mich für Mathematik. In der Schule nutzen wir jedoch lediglich die Scheitelpunktform um den Scheitelpunkt abzulesen. Also durch quadratische Ergänzung.

Ich weiß aber, dass man den x-Wert des Scheitelpunktes mit der Formel -b/(2a) berechnen kann. Nach dem y-Wert kann man dann ja auflösen.

Ich weiß jedoch nicht wie ich diese Formel beweisen oder herleiten kann, jedenfalls auf meinem Niveau..

Gibt es da eine Möglichkeit? Möglichst ohne Ableitungen, denn so geht es ja auch.

Danke und Liebe Grüße!

Answer 1

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

der Term -b/(2a) ist für sich genommen keine Formel. Was Du meinst ist wahrscheinlich der X-Wert \(x_s\) des Scheitelpunkts (bzw. der Extremstelle) der Funktion \(f\) einer Parabel, die in der sogenannten Normalform gegeben ist:$$f(x)= ax^2+ bx + c \implies x_s = -\frac{b}{2a}$$Die 'Formel' ist dann \(x_s = -b/(2a)\), wobei man immer dazu angeben muss, was \(a\), \(b\) und \(x_{s}\) sein soll - ansonsten hat das keine Aussagekraft!

Wenn Ihr 'quadratische Ergänzung' gehabt habt, so kannst Du die Formel für \(x_s\) auch daraus herleiten:$$\begin{aligned} f(x) &= ax^2+ bx + c &&|\,\div a\\ \frac{f(x)}{a} &= x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} \\ &= \underbrace{x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2}_{\text{bin. Formel}}-\left(\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a} \\ &= \left( x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a} -\left(\frac{b}{2a}\right)^2 &&|\,\cdot a\\ f(x) &= a\left( x -\left(- \frac{b}{2a}\right)\right)^2 +\underbrace{c - \frac{b^2}{4a}}_{=y_{s}}\\ \end{aligned}$$Wenn man nun für \(x\) den Wert \(x_{s}=-b/(2a)\) einsetzt, wird der qudratische Teil zu \(0\). Dort liegt der Scheitel der Parabel.

Eine alternative Herleitung:

wie Du schon richtig erwähnt hast, spielt das \(c\) für das \(x_s\) keine Rolle. Ich beschränke mich daher im Folgenden auf die Funktion$$f(x) = ax^2 + bx $$ und betrachte den quadratischen Teil und den linearen einzeln$$f_1(x) = ax^2 \\ f_2(x)= bx$$\(f\) ist natürlich die Summe von beiden: \({\color{red}f(x)}= {\color{blue}f_1(x)} + {\color{green}f_2(x)}\).

https://www.desmos.com/calculator/upcy16rhgk

Hier habe ich die Graphen der beiden Funktionen \(f_1\) in blau und \(f_2\) in grün dargestellt. Der Graph der Summe ist rot dargestellt. Wenn von beiden Funktionen die Steigungen sich aufheben, also ihre Summe =0 ist, dann ist die Steigung der Summe eben =0 und dort liegt dann der Scheitel.

Dazu habe ich die Funktion \(-f_2= -bx\) grün gestrichelt eingezeichnet. Wenn die Steigung von \(-f_2\) identisch zu der von \(f_1\) ist, liegt dort das \(x_s\). Dazu berechne ich zunächst die Schnittstellen von \(-f_2\) und \(f_1\)$$\begin{aligned}-bx &= ax^2 &&|\, \div x \\ -b &= ax \\ x &= -\frac{b}{a}\end{aligned}$$einer der beiden Schnittpunkte liegt (zwangsläufig) bei \(x=0\) - der interessiert uns hier nicht. Den anderen Schnittpunkt nenne ich \(Q\)$$Q=\left(-\frac{b}{a}|\, \frac{b^2}{a}\right)$$Nun liegt bei einer Parabel der Berührpunkt \(B\) der Tangente (lila), die die identische Steigung zu einer Sekante (grün gestrichelt) genau in der Mitte der beiden Schnittpunkte. Das folgt u.a. aus der geometrischen Definition einer Parabel. Da der eine Schnittpunkt im Ursprung fest liegt, liegt dieser Punkt \(B\) bei$$x_s = \frac{1}{2} Q_{x} = - \frac{b}{2a}$$Hier hat der quadratische Teil \(f_1\) genau die Steigung, die durch den linearen Teil aufgehoben wird, d.h. die Summe ist 0 und damit liegt hier der Scheitel.

Oben im Bild kannst Du die beiden Punkte 'a,b einstellen' mit der Maus verschieben.

Gruß Werner

Comments

Antwort um eine alternative Betrachtung erweitert.

Answer 2

\(y=a*x^2+b*x+c |-c\)

\(y-c=a*x^2+b*x|:a\)

\(\frac{y-c}{a}=x^2+\frac{b}{a}*x\)

\(\frac{y-c}{a}+(\frac{b}{2a})^2=(x+\frac{b}{2a})^2\)

\(\frac{y-c}{a}=(x+\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2\)

\(y-c=a*(x+\frac{b}{2a})^2-a*(\frac{b}{2a})^2\)

\(y=a*(x+\frac{b}{2a})^2-a*(\frac{b}{2a})^2+c\)

\(S(-\frac{b}{2a}| -a*(\frac{b}{2a})^2+c )\)

\(S(-\frac{b}{2a}| -a*\frac{b^2}{4a^2}+c )\)

\(S(-\frac{b}{2a}| -\frac{b^2}{4a}+c )\)

Bitte nachrechnen, da ich schnell geschrieben habe.

Answer 3

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Du hast eine mögliche Beweis-Idee bereits genannt, die quadratische Ergänzung.

Wir betrachten eine allgemeine quadratische Gleichung:$$f(x)=ax^2+bx+c\quad;\quad a\ne0$$Wir müssen \(a\ne0\) fordern, weil wir ja sonst gar keine quadratische Gleichung vorliegen haben. Dieses \(a\) klammern wir aus:$$f(x)=a\left(x^2+\frac bax\right)+c$$In der Klammer addieren wir nun die quadratische Ergänzung \(\pink{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}\) und subtrahieren sie direkt wieder, damit wir den Wert der Klammer nicht verändern. Man nennt diesen Trick die "Addition einer nahrhaften Null":$$f(x)=a\left(x^2+\frac bax+\pink{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}-\green{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}\right)+c$$Den grünen Teil kammern wir wieder aus:$$f(x)=a\left(x^2+\frac bax+\pink{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}\right)-a\green{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}+c$$Nun können wir in der ersten großen Klammer die erste binomische Formel verwenden:$$f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-a\cdot\green{\frac{b^2}{4a^2}}+c$$und den Kleinkram außerhalb der Klammer noch zusammenfassen:$$f(x)=a\cdot\underbrace{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2}_{\ge0}+\left(c-\frac{b^2}{4a}\right)$$

Da eine Quadratzahl immer \(\ge0\) ist, erreicht der quadratische Term sein Minimum \(0\) für \(\left(x=-\frac{b}{2a}\right)\). Wenn \(a>0\) liegt dort die Minimalstelle der Funktion. Wenn \(a<0\) liegt dort die Maximalstelle der Funktion.

Die Koordinaten des Scheitelpunktes lauten also:$$S\left(-\frac{b}{2a}\bigg|c-\frac{b^2}{4a}\right)$$

Answer 4

Hallo,

y=ax²+bx+c

Ich verschiebe die Parabel um -c parallel zur y-Achse und erhalte

y=ax²+bx

Die Nullstellen erhalte ich mit y=0.

0=ax²+bx

0=x•(ax+b)

x=0 oder ax+b=0

x=0 oder x=-b/a

Da die Parabel achsensymmetrisch ist, gilt:

Der x-Wert des Scheitelpunktes liegt in der Mitte zwischen den Nullstellen, also bei

x_s=(0 + (-b/a))/2=-b/(2a)

Nun kann die Parabel noch um +c zurück geschoben werden.

:-)