Aloha :)
Deine Antworten sind leider sehr falsch. Nur Aufgabe (3) ist komplett richtig.
Daher schauen wir uns die Aufgaben mal zusammen an.
zu 1) Das Vektorprodukt steht senkrecht auf seinen beiden Argumenten-Vektoren. Daher ist:$$\vec n=\begin{pmatrix}3\\4\\-5\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8+5\\5-6\\3+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13\\\pink{-1}\\\pink7\end{pmatrix}$$Den Wert für \(c\) kann man ohne Kenntnis von \(n_2\) und \(n_3\) bestimmen, der ist richtig:$$c=\vec n\cdot\vec u=\begin{pmatrix}13\\n_2\\n_3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}=13\cdot6=\pink{78}$$
zu 2) Wenn du die Bedingungsgleichung umstellst, kannst du \(\vec n\) ablesen:$$2x_1-x_2=2x_3\implies 2x_1-x_2-2x_3=0\implies\pink{\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=0$$Die beiden Basisvektoren müssen zu dem pinken Normalenvektor senkrecht stehen. Daher scheidet Lösung (c) sofort aus, denn darin ist \(\vec v\) gleich dem pinken Normalenvektor, steht also parallel zu diesem. Bleibt als Antwort nur noch \(\pink{(d)}\).
zu 3)\(\quad\checkmark\)
zu 4) Hier musst du nur die Integrale berechnen:
$$\text{(a)}\quad\int\limits_{-1}^13t\cdot t^2\,dt=\int\limits_{-1}^13t^3\,dt=\left[\frac34\,t^4\right]_{-1}^1=\pink0$$$$\text{(b)}\quad\int\limits_{-1}^1\sin(\pi t)\cdot\cos(\pi t)\,dt=\left[-\frac{\cos^2(\pi t)}{2\pi}\right]_{-1}^1=\pink0$$$$\text{(c)}\quad\int\limits_{-1}^13\cdot t^2\,dt=\left[t^3\right]_{-1}^1=2\ne0$$$$\text{(d)}\quad\int\limits_{-1}^12\cdot t\,dt=\left[t^2\right]_{-1}^1=\pink0$$Richtig sind also (a), (b) und (d).
zu 5) Wir rechnen den Cosinus des Winkels mittels des Skalarproduktes aus:$$\cos\alpha=\frac{\begin{pmatrix}-2\\0\\2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2\\4\\0\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}-2\\0\\2\end{pmatrix}\right\|\cdot\left\|\begin{pmatrix}2\\4\\0\end{pmatrix}\right\|}=\frac{-4}{\sqrt{8}\cdot\sqrt{20}}=\frac{-4}{\sqrt{160}}=\frac{-4}{4\sqrt{10}}=-\frac{1}{\sqrt{10}}=-\frac{1}{\sqrt{2}\cdot\pink{\sqrt5}}$$
zu 6) Die Projektion von \(\vec x\) auf \(\vec v\) lautet:$$\vec x_\perp=\left(\frac{\vec x\cdot\vec v}{\vec v\cdot\vec v}\right)\vec v=\frac{6-2+2-3}{1+1+1+1}\,\vec v=\frac{\pink3}{4}\,\vec v$$Diesen projezierten Vektor musst du noch zum Ankerpunkt \(\vec u\) addieren:$$\vec y=\vec u+\vec x_\perp=\vec u+\frac{\pink3}{4}\,\vec v\implies\vec y-\vec u=\frac{\pink3}{4}\,\vec v$$
